按位或等于 K 计算给定数组中的对

在一个给定数组中，按位或等于K的对数可以定义为数组中有多少对(i, j)，使得arr[i] | arr[j] = K。（其中|表示按位或运算符）

例如，如果给定数组为[3, 5, 7, 8, 6, 4, 2]，且K为6，则可能的对为(5, 3)，(7, 1)，(6, 0)，(4, 0)，(2, 0)，共计5对。

在本文中，我们将探讨如何有效地计算给定数组中的按位或等于K的对数。我们将首先介绍一个朴素的解决方案，然后引入一些更优秀的算法和优化技巧。

朴素的解决方案

最简单和朴素的方法是通过枚举数组中的所有可能的对来计算按位或等于K的对数。对于一个n元素的数组，该算法的时间复杂度为O(n^2)，这对于大型输入会导致性能问题。

def count_pairs(arr, K):
    n = len(arr)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if arr[i] | arr[j] == K:
                count += 1
    return count

在上面的代码中，我们首先定义n为数组的长度，然后通过两个嵌套的循环遍历数组中的所有可能的对，并使用按位或运算符检查它们是否等于K。如果它们相等，我们递增计数器的值。最后，我们返回计数器的值。

虽然这种算法非常简单，但它的时间复杂度为O(n^2)，对于大型数组和K值可能会导致性能问题。

优化的方法

接下来，我们将介绍两个更优秀的算法，并解释它们是如何工作的。这些算法采用不同的技术进行优化，并尝试减少算法的时间复杂度。

哈希表算法

我们可以使用哈希表来加速计算按位或等于K的对数。我们首先创建一个哈希表，然后使用哈希表中的值作为键，将输入数组的元素按位或处理的结果作为值。新哈希表中的每个键都将包含一个列表，表示该值的所有索引。

def count_pairs_hash(arr, K):
    n = len(arr)
    hash_table = {}
    count = 0
    for i in range(n):
        if arr[i] in hash_table:
            hash_table[arr[i]].append(i)
        else:
            hash_table[arr[i]] = [i]

    for i in range(n):
        val = arr[i] | K
        if val in hash_table:
            count += len(hash_table[val])

    return count

在上面的代码中，我们首先定义n为数组的长度，然后使用一些哈希表来存储数组中的元素。我们然后循环遍历整个数组，将每个元素按位或处理的结果作为哈希表中的键，将该元素的索引添加到字典列表中。接下来，我们再次遍历整个数组，并使用arr[i] | K作为哈希表的键，使用哈希表中值的长度来更新计数器。由于哈希表的查找是常数时间的（O(1)），因此该算法的时间复杂度为O(n)。

位运算算法

我们可以使用位运算技巧来进一步优化上述算法。通过使用位运算，我们可以快速地将每个元素与K进行按位或处理，并计算结果中每个位上的1的个数。我们然后统计每个值的出现次数，然后计算与K按位或处理的所有元素的组合方式数量。

def count_pairs_bitwise(arr, K):
    n = len(arr)
    max_val = 0
    for i in range(n):
        max_val = max(max_val, arr[i])
    count_arr = [0 for i in range(max_val + 1)]
    for i in range(n):
        count_arr[arr[i]] += 1

    count = 0
    for i in range(n):
        count += count_arr[K | arr[i]]
        if K == arr[i]:
            count -= 1
    
    return count // 2

在上面的代码中，我们首先找到数组中的最大值，然后使用一个计数数组来存储每个值的出现次数。接下来，我们循环遍历整个数组，并计算arr[i] | K的结果。我们再次使用计数数组来获取该结果的出现次数，并将计算结果添加到计数器中。最后，我们要减去 K == arr[i]的情况（即i == j的情况），并将计数器的值除以2，因为每个按位或等于K的对都会被计算两次。

由于该算法只涉及常数时间的位运算，因此其时间复杂度为O(n)。

结论

在本文中，我们介绍了三种不同的算法来计算按位或等于K的对数。虽然朴素的解决方案是最简单的，但它的时间复杂度为O(n^2)，对于大型输入可能会导致性能问题。相比之下，哈希表算法和位运算算法都采用了不同的技术进行优化，将时间复杂度降到线性级别（O(n)）。在实际应用中，应该考虑问题规模和性能需求，并选择最适合的算法来处理给定问题。