仅使用 D 形成的可被 K 整除的数字的最小长度

问题描述

给定整数 D 和 K，你需要找到一个正整数 N，使得 N 仅由 D 组成且 N 能够被 K 整除，且 N 的长度最小。

解法

对于一个由 D 组成的长度为 len 的数字，它表示的实际数值为 D × 10^0 + D × 10^1 + ... + D × 10^(len-1)。我们可以使用余数的性质来判断一个由 D 组成的数字能否被 K 整除，如果对 K 取余数等于 0，说明它能被 K 整除，否则不能被 K 整除。

设当前构造的数字为 N，考虑如何在 N 的基础上添加数字 D 来构造新的数字。设当前余数为 R，上一次添加的数字权重为 w，则新数字的权重为 w × 10，新余数为 (R + D × w) % K。如果新余数等于 0，说明我们已经构造出了一个符合条件的数字，直接返回。

需要注意的是，当 D = K 时，新余数永远等于 0，此时无法判断是否存在满足要求的数字。因此特殊判断此种情况。

时间复杂度为 O(K)。

代码实现

def smallest_d_number(d: int, k: int) -> int:
    if d == k:
        return -1  # 无法构造出符合条件的数字

    n, r, w = d, d % k, 10
    while r != 0:
        r = (r + n * w) % k
        n, w = n + d * w, w * 10

    return n

代码使用 Python 语言实现，函数名为 smallest_d_number，接受两个参数 d 和 k，返回结果为构造出的符合条件的最小正整数 N。代码通过模拟的方式构造数字，并根据取模运算的结果来判断是否符合要求。如无法构造出符合条件的数字，返回 -1。