可被给定数组中所有数字整除的最小 K 位数字

问题描述

给定一个正整数的数组，找出一个最小的正整数，该整数由给定数组中的数字排列组成，且可被数组中所有数字整除。

解决方案

思路

首先，我们可以观察到一个性质，一个可以被整除的数，需要满足每个数位上的数字都能够被整除。

因此，我们可以找出一个最小的数，在该数的每个数位上都出现了所有数字。但是，这个方法是很低效的，因为我们需要枚举所有的排列组合，才能确定最小的符合条件的数。

为了提高效率，我们可以采用一些剪枝的技巧，例如贪心和回溯算法。

回溯算法

回溯算法是一种递归算法，它尝试在所有可能的情况下搜索解。

在本问题中，我们可以定义一个函数，该函数试图在所给定的数组中找到一个满足条件的数。

具体地，在该函数中，我们从最高位开始尝试每个数，然后递归调用该函数来构建下一位。如果构建完毕，那么我们就找到了一个解，否则我们需要回溯来尝试下一个数。

为了避免重复，我们需要维护一个访问过的数组，来判断哪些数字已经用过了。

同时，我们可以利用一些剪枝的技巧来提高效率。例如，如果当前尝试的数比之前的数小，那么我们就不需要继续尝试，因为我们已经找到了一个较小的数。

贪心算法

贪心算法是一种优化算法，它试图在每个步骤中选择最优的解。

在本问题中，我们可以利用贪心算法来降低搜索空间。具体地，我们可以将数组中的数按照升序排列，然后构建一个数，最小的数位放最小的数，接着放次小的数，直到放完最大的数。

这个方法的正确性可以通过反证法来证明。假设我们的解不是最小的，并且我们可以通过交换两个数字来获得更小的解。但是，这意味着我们可以在交换这两个数字的位置之前在其它位置上交换数字，得到一个更小的解。

因此，我们可以得出结论，即按升序排列构建数是最优的。

代码实现

以下是一份使用回溯算法的 Python 代码：

def smallest_multiple(nums):
    nums.sort()  # 确保nums是升序排列的
    n = len(nums)
    visited = [False] * n  # 记录nums中数字是否被使用过
    res = [0] * n  # 记录最终结果

    def backtrack(pos):
        if pos == n:
            return int("".join(str(x) for x in res))  # 构建最终结果
        for i in range(n):
            if visited[i] or (i > 0 and nums[i] == nums[i - 1] and not visited[i - 1]):
                # 如果数字已经被使用过，或者是重复的数字但是之前的数字没有被使用过，那么就跳过
                continue
            if pos > 0 and nums[i] % res[pos - 1] != 0:
                # 如果当前数字不能被上一位整除，那么也跳过
                continue
            visited[i] = True
            res[pos] = nums[i]
            ret = backtrack(pos + 1)
            if ret > 0:
                return ret  # 找到了最小的符合条件的数，直接返回
            visited[i] = False  # 回溯
        return 0

    return backtrack(0)

使用贪心算法的 Python 代码如下：

def smallest_multiple(nums):
    nums.sort()  # 确保nums是升序排列的
    res = [nums[0]]
    for i in range(1, len(nums)):
        res.append(nums[i])
        j = len(res) - 2
        while j >= 0:
            if res[j] > nums[i] or ((nums[i] // res[j]) % 10) != 0:
                # 如果当前数字不能被上一位整除，那么就尝试向前移动
                res[j + 1], res[j] = res[j], res[j + 1]  # 交换数字的位置
                j -= 1
            else:
                break
    return int("".join(str(x) for x in res))

复杂度分析

回溯算法的时间复杂度为 $O(n!)$，因为我们需要枚举所有的排列组合，空间复杂度为 $O(n)$，因为我们需要维护一个访问过的数组。

贪心算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，因为我们需要进行 $n$ 次插入操作，空间复杂度为 $O(n)$，因为我们需要维护一个结果数组。

从复杂度的角度来看，贪心算法比回溯算法更优，但是回溯算法的解法更加通用，可以应用于更多的问题。