在 [0, K] 范围内找到一个值 X，它可以在给定数组上最大化 X XOR 和

介绍

本题需要在一个给定的数组中找到一个值 X，使得 X 和数组中的所有元素进行异或计算后的结果最大。并且要求 X 要在 [0, K] 的范围内。其中，K 是一个已知的正整数。

异或操作是计算机科学中的一种基本运算，它可以将两个二进制数的每一位进行比较，如果相应位上的数字不同，则该位的结果为 1，否则为 0。例如，对于二进制数 1010 和 1101，它们的异或值为 0111。

思路

本题可以使用异或运算的性质进行求解。异或运算有以下几个性质：

1. 交换律：a ^ b = b ^ a
2. 结合律：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
3. 自反性：a ^ a = 0
4. 零元素：a ^ 0 = a

根据第一条性质，我们可以将给定的数组中的元素按照从小到大的顺序进行排序。然后，我们从高位到低位依次确定 X 的每一位是 0 还是 1。

为了使得 X ^ nums 中的结果最大，我们需要找到可以与 X 进行异或运算的最大值。如果我们假设当前已经确定了 X 的前 i 位，可以用类似字典树的方法来寻找能够和 X 进行异或运算的最大值。我们可以将所有的数都视为二进制数，然后按照从高位到低位的顺序，将其插入到一棵二叉树中。如果某一位是 0，我们则往左子树走，否则往右子树走。然后，我们从高位到低位判断 X 的每一个位，如果当前位为 1，则我们需要往和 X 异或的结果上添加一个 0，然后往左子树走；否则，我们需要往和 X 异或的结果上添加一个 1，然后往右子树走。这样，我们就可以得到和 X 进行异或计算的最大值了，也就是所谓的“最大化 X XOR 和”。

具体实现方式可以参考下面给出的代码。

代码

def maximize_xor(nums: List[int], k: int) -> int:
    # 将 nums 中的所有元素转化为二进制数，并将其插入到一棵二叉树中
    trie = {}
    for num in nums:
        node = trie
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node:
                node[bit] = {}
            node = node[bit]
    
    # 从高位到低位，依次确定 X 的每一个位
    xor = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        # 如果当前位为 1，则我们需要往左子树走；否则，往右子树走
        if k & (1 << i):
            if 0 in trie:
                trie = trie[0]
                xor |= (1 << i)
            else:
                trie = trie[1]
        else:
            if 1 in trie:
                trie = trie[1]
                xor |= (1 << i)
            else:
                trie = trie[0]
    
    return xor

参考文献

1. LeetCode 421. Maximum XOR of Two Numbers in an Array