给定数组范围的XOR之和最大的数字

介绍

该问题要求在一个给定的数组范围内找到一个数，使得该数与这个范围内的所有数的异或和最大。

异或和是指将两个二进制数对应的位进行异或运算后得到的结果。例如，2和7的异或和是5，因为2的二进制表示是10，7的二进制表示是111，对应的位为0^1、1^1、1^1，结果是101，即5的二进制表示。

解法

思路

首先，让我们来看一个小样例：

给定数组[4, 8, 2, 10]，找出其中与[2, 10]范围内的所有数的异或和最大的数。

我们可以对所有数进行二进制分解，如下：

• 4的二进制：0100
• 8的二进制：1000
• 2的二进制：0010
• 10的二进制：1010

然后，我们可以按位考虑所有数的异或和。

如下表所示，我们将所有数的二进制表示中的每一位单独考虑：

| 位数 | 4 | 8 | 2 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

如果我们选择的这个数在某一位为1，而范围内其他数在此位上也为1，那么这一位的异或和是0。

因此，在任何情况下，我们都应该选择一个在某些位上与范围内的其他数不同的数。

运算

为了方便，我们可以先将所有数的二进制表示按照从高到低的顺序排列。

假设当前我们已经考虑了前k位，并且前k-1位的异或和为s。

现在我们需要决定第k位上应该是0还是1。

假设在范围内有m个数，这些数的第k位分别为a1, a2, ..., am，其中1<=a1<=a2<=...<=am。

如果a1到am中有一个数的第k位为1，那么，我们应该让当前这一位为0，因为这样可以确保与该范围内的每个数字的第k位异或后为1。

而如果这m个数的第k位全都是0，那么我们就无法避免某些数字的第k位与当前这个数字的第k位相同，因此此时应该选择第k位为1。

根据上述规则，我们可以得到一个O(n^2)的朴素解法：

def find_max_xor(nums, left, right):
    max_xor = 0
    for i in range(left, right+1):
        for j in range(i+1, right+1):
            temp = nums[i] ^ nums[j]
            if temp > max_xor:
                max_xor = temp
    return max_xor

这个解法的时间复杂度很高，无法处理大规模的输入。

优化

我们可以使用高级的数据结构“字典树”来加速求解。

我们可以将所有数的二进制表示构成一棵字典树。

对于范围内所有数的每个二进制位，我们都能快速在字典树上找到一个与它不同的子树。

根据异或的性质，我们可以考虑在贪心策略下逐位确定所求答案。

在每一位上选择异或和更大的那个子树。

具体地，根据异或和的构成，每一位上选择异或和更大的那个子树就等价于选择更大的数所在的子树。

因此我们可以通过不断向下走走到最大异或和。

这个算法的时间复杂度为O(n log w)，其中w是数据范围内的最大值。

下面是完整的Python代码实现：

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        
class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
        
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node.children:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
            
    def search(self, num):
        node = self.root
        ans = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit == 0:
                if 1 in node.children:
                    ans |= 1 << i
                    node = node.children[1]
                else:
                    node = node.children[0]
            else:
                if 0 in node.children:
                    ans |= 1 << i
                    node = node.children[0]
                else:
                    node = node.children[1]
        return ans
    
class Solution:
    def find_max_xor(self, nums: List[int], left: int, right: int) -> int:
        trie = Trie()
        for i in range(left, right+1):
            trie.insert(nums[i])
        max_xor = 0
        for i in range(left, right+1):
            ans = trie.search(nums[i])
            max_xor = max(max_xor, ans)
        return max_xor

结论

该算法的时间复杂度为O(n log w)，空间复杂度为O(n log w)。

通过使用数据结构“字典树”，我们成功将时间复杂度降到了较低的O(n log w)。

同时，我们也需要为字典树的额外空间付出代价，空间复杂度也为O(n log w)。

总结来说，通过牺牲部分空间来降低时间复杂度，我们成功地解决了该问题。