在[L，R]范围内查找数字的XOR

简介

本文将介绍如何在给定的一段连续整数范围内查找所有数字的XOR，以及如何通过不同的方法实现这种操作。

什么是XOR？

XOR（异或）是一种逻辑运算符，它可以判断两个值是否不同。XOR的真值表如下所示：

| 输入1 | 输入2 | 输出 | |-------|-------|------| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

例如，输入1和3的XOR值为2，因为1的二进制表示是001，而3的二进制表示是011。它们的XOR结果是010，即十进制的2。

实现方法

方法一：循环遍历

最简单的方法是使用循环遍历整个范围，对每个数字进行XOR操作。代码如下：

def xor_range(L, R):
    res = L
    for i in range(L+1, R+1):
        res ^= i
    return res

时间复杂度为O(R-L)，空间复杂度为O(1)。

方法二：数学运算

XOR满足交换律和结合律，因此对于一个范围[L,R]，我们可以将它拆分成两个子范围[L,mid]和[mid+1,R]，其中mid是L和R的中间点，然后分别计算这两个子范围的XOR值，最后再将这两个值XOR起来，即可得到整个范围的XOR值。具体实现代码如下：

def xor_range(L, R):
    def xor(n):
        """
        计算1到n的XOR
        """
        if n % 4 == 0:
            return n
        elif n % 4 == 1:
            return 1
        elif n % 4 == 2:
            return n + 1
        else:
            return 0
        
    return xor(R) ^ xor(L-1)  # L-1是上一个范围的结尾

以上代码利用了一个数学技巧：对于1到n之间的整数，它们的XOR值有一个规律，即当n%4=0时，XOR值为n；当n%4=1时，XOR值为1；当n%4=2时，XOR值为n+1；当n%4=3时，XOR值为0。这个规律可以通过一些简单推导得出，读者可以自行尝试。

时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)。

方法三：位运算

对于两个整数A和B，它们的XOR结果可以通过将它们的二进制位逐位进行异或运算得到，即A的第i位和B的第i位进行异或运算得到C的第i位。因此，我们也可以利用这个性质在O(log(R-L))的时间内计算范围[L,R]中所有数字的XOR值。代码如下：

def xor_range(L, R):
    res = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        if (L >> i) & 1 != (R >> i) & 1:
            # 如果L和R的第i位不相同
            res |= 1 << i
        else:
            res &= ~(1 << i)
    return res

以上代码从高位到低位逐位进行判断，如果L和R的第i位不相同，则将结果的第i位设为1。否则，将结果的第i位设为0。

时间复杂度为O(log(R-L))，空间复杂度为O(1)。

结论

本文介绍了三种计算[L,R]范围内所有数字XOR值的方法，分别是循环遍历、数学运算和位运算。通过这些方法，我们可以灵活地应对各种场景下的需求。