给定范围内所有偶数的XOR

本篇介绍一个解决给定范围内所有偶数的XOR的问题的算法。

问题描述

给定一个区间 $[l, r]$，求范围内所有偶数的异或和。

解决思路

假设 $n\in[l,r]$ 中有 $m$ 个偶数，则只需求出 $\dfrac{m}{2}$ 个数的异或和即可。因为 $a\oplus a=0$，$a\oplus 0=a$，所以偶数异或自身等于 $0$，而偶数与奇数异或不为 $0$。因此可以将所有偶数的异或和转化为 $\dfrac{m}{2}$ 个数的异或和。

由于异或运算满足结合律和交换律，将这 $\dfrac{m}{2}$ 个数按照二进制位分别异或，即可求得答案。具体来说，设这 $\dfrac{m}{2}$ 个数的二进制位在第 $i$ 位上的值的异或和为 $x_i$，则答案即为：

$$ ans=\sum_{i=0}^{\log_2 r}(x_i\cdot 2^i) $$

其中 $\log_2 r$ 表示 $r$ 的二进制表示中最高位的位置。注意到一个偶数的二进制表示下最低位的值为 $0$，因此要将枚举范围从 $0$ 开始。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(\log r)$，其中 $r$ 表示给定区间的右端点。

代码实现

下面是该算法的 C++ 实现。

long long even_xor(int l, int r) {
    long long res = 0;
    for (int i = 0; i < 64; ++i) {
        int cnt = (r >> (i + 1) << 1) - (l >> (i + 1) << 1);
        if (cnt & 1) res += (1LL << i);
    }
    return res;
}

总结

本篇介绍了一种求解给定范围内所有偶数的异或和的算法。这是一道很有思维难度的题目，需要将异或运算的性质结合二进制位的性质进行巧妙的转化。