给定二叉树的最小-最大乘积树

介绍

给定二叉树的最小-最大乘积树（Min-Max Tree of a given Binary Tree）是一种新的二叉树，其中每个节点的值是其子树中所有节点的最小值和最大值的乘积。 如下图所示：

这个新的二叉树的定义是鲜有人知的，然而它在解决一些实际问题上具有很好的表现。

实现

思路

如何构造最小-最大乘积树呢？我们可以从根到叶的顺序来构造这个树。设当前节点的值为 $v$，则我们需要往左子树和右子树中找到它们的最小值和最大值，分别记为 $minl, maxl$ 和 $minr, maxr$，然后我们将当前节点的值赋值为这两个较小值之积，即 $v=\min(minl, minr) \times \max(maxl, maxr)$。同时我们可以发现，由于原二叉树是按照根到叶的顺序来构造的，因此最小-最大乘积树也是满足这个顺序的。

代码实现

下面是使用 Java 语言实现的解法：

public static TreeNode minMaxTree(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    TreeNode left = minMaxTree(root.left);
    TreeNode right = minMaxTree(root.right);
    if (left != null && right != null) {
        int minl = left.min, maxl = left.max, minr = right.min, maxr = right.max;
        int min = Math.min(minl, minr), max = Math.max(maxl, maxr);
        root.val = min * max;
    } else if (left != null) {
        root.val = left.min * left.max;
    } else if (right != null) {
        root.val = right.min * right.max;
    }
    root.min = Math.min(root.val, Math.min(left == null ? Integer.MAX_VALUE : left.min, right == null ? Integer.MAX_VALUE : right.min));
    root.max = Math.max(root.val, Math.max(left == null ? Integer.MIN_VALUE : left.max, right == null ? Integer.MIN_VALUE : right.max));
    return root;
}

其中 TreeNode 是一棵二叉树的节点，定义如下：

class TreeNode {
    int val;
    int min, max; // 记录最小/大值
    TreeNode left, right;

    public TreeNode(int val) {
        this.val = val;
        this.min = this.max = val;
        this.left = this.right = null;
    }
}

时间复杂度

这个解法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是二叉树的节点数。因为每个节点都只会被遍历一次。

空间复杂度

这个解法的空间复杂度是 O(h)，其中 h 是二叉树的高度。因为递归调用的次数就是二叉树的高度。

总结

这个问题可能不是非常实用，但它展现了在计算机科学领域中一个有趣的想法：如何从简单的问题推导到复杂的问题，从而得到新的、有用的数据结构和算法。了解和实现这个问题不仅可以提高你的计算机科学素养，也可以提升你的编程技巧。