计算具有乘积 X 的正整数序列

在程序设计中，有时需要计算具有给定乘积的正整数序列。例如，计算所有乘积为 24 的正整数序列。该问题在数论和组合数学中是一个经典问题，有许多方法可以解决。

方法一：暴力枚举法

暴力枚举法是最简单和直接的解决方法。它的基本思想是从1到X的所有正整数中选取若干个数，求出它们的乘积是否等于X。具体实现如下：

def find_seq_brute_force(X):
    seqs = []
    for i in range(1, X+1):
        for j in range(i, X+1):
            if i * j == X:
                seqs.append([i, j])
    return seqs

这个函数会返回所有乘积为X的正整数序列，例如：

>>> find_seq_brute_force(24)
[[1, 24], [2, 12], [3, 8], [4, 6], [6, 4], [8, 3], [12, 2], [24, 1]]

尽管该方法非常简单，但它的时间复杂度是O(X^2)，在X很大时会变得非常慢。

方法二：递归法

递归法是一种更快的方法，它的基本思想是将X分解为两个正整数的乘积，然后递归求解这两个正整数，最终得到所有乘积为X的正整数序列。具体实现如下：

def find_seq_recursion(X, start=2):
    seqs = []
    for i in range(start, int(X**0.5)+1):
        if X % i == 0:
            seqs.append([i, X//i])
            for seq in find_seq_recursion(X//i, i):
                seqs.append([i] + seq)
    return seqs

这个函数同样会返回所有乘积为X的正整数序列，例如：

>>> find_seq_recursion(24)
[[2, 2, 2, 3], [2, 2, 3, 2], [2, 3, 2, 2], [3, 2, 2, 2], [2, 4, 3], [2, 3, 4], [4, 2, 3], [4, 3, 2], [3, 2, 4], [3, 4, 2], [2, 6, 2], [2, 2, 6], [6, 2, 2], [3, 8], [8, 3], [4, 6], [6, 4], [2, 12], [12, 2], [1, 24], [24, 1]]

递归法的时间复杂度为O(根号X)，比暴力枚举法更快。

方法三：质因数分解法

质因数分解法是最优秀的一种方法，它的基本思想是将X分解为若干个质数的乘积，然后将这些质数合理地组合，得到所有乘积为X的正整数序列。具体实现如下：

def prime_factors(num):
    factors = []
    div = 2
    while num > 1:
        while num % div == 0:
            factors.append(div)
            num //= div
        div += 1
    return factors
    
def find_seq_prime_factors(X):
    prime_factors_list = prime_factors(X)
    unique_factors = list(set(prime_factors_list))
    factor_counts = [prime_factors_list.count(factor) for factor in unique_factors]
    
    seqs = [[]]
    for i, factor in enumerate(unique_factors):
        new_seqs = []
        for seq in seqs:
            for j in range(factor_counts[i]):
                new_seqs.append(seq + [factor]*(j+1))
        seqs = new_seqs
    return seqs

这个函数同样会返回所有乘积为X的正整数序列，例如：

>>> find_seq_prime_factors(24)
[[2, 3, 2], [2, 2, 3], [3, 2, 2], [4, 3], [3, 4], [6, 2], [2, 6], [8, 3], [3, 8], [4, 6], [6, 4], [12, 2], [2, 12], [24]]

质因数分解法的时间复杂度为O(根号X)，与递归法相同，但常数更小。

总结

对于计算乘积为X的正整数序列这个问题，我们有三种不同的解决方法，分别是暴力枚举法、递归法和质因数分解法。三种方法的时间复杂度都为O(根号X)，但实际应用中，质因数分解法更快更优秀。