支持向量机 (SVM) 中的主要核函数

支持向量机 (Support Vector Machine, SVM) 是一种广泛应用于分类和回归分析的机器学习算法。在 SVM 中，核函数 (Kernel Function) 起着重要的作用，能够将非线性问题转化为线性问题，从而更好地进行分类。本文将介绍 SVM 中的主要核函数。

线性核函数 (Linear Kernel)

线性核函数是 SVM 最简单的核函数之一，它的形式可以表示为：

$$K(x_1, x_2) = x_1^T x_2$$

其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是输入特征向量。线性核函数可以用于处理线性可分的问题，它有一个很好的性质，即计算速度非常快。但它对于非线性可分的问题无能为力。

多项式核函数 (Polynomial Kernel)

多项式核函数可以用于处理一些非线性可分的问题，它的形式可以表示为：

$$K(x_1, x_2) = (x_1^T x_2 + c)^d$$

其中 $d$ 是多项式的次数，$c$ 是一个常数。当 $d=1$ 时，多项式核函数等效于线性核函数。当 $d>1$ 时，多项式核函数能够捕获特征之间更复杂的交互关系。

径向基核函数 (Radial Basis Function Kernel)

径向基核函数 (Radial Basis Function, RBF) 是 SVM 常用的核函数之一，它的形式可以表示为：

$$K(x_1, x_2) = \exp\left(-\gamma\ \left|x_1 - x_2\right|^2\right)$$

其中 $\gamma$ 是正的常数。RBF 核函数的理论基础是Mercer 定理，它能够将任意特征空间映射为一个无限维的特征空间，从而能够处理非线性可分的问题。

Sigmoid 核函数

Sigmoid 核函数的形式可以表示为：

$$K(x_1, x_2) = \tanh(\alpha x_1^T x_2 + c)$$

其中 $\alpha$ 和 $c$ 是正的常数。Sigmoid 核函数可以处理一些非线性问题，但它容易出现过拟合的问题。

代码示例

下面是 Python 中使用 SVM 进行分类的示例代码：

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC

# 加载鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

# 划分训练数据和测试数据
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0)

# 使用径向基核函数进行分类
rbf_svc = SVC(kernel='rbf', C=1, gamma=0.1).fit(X_train, y_train)

# 在测试数据上进行预测
print('Accuracy: {:.2f}'.format(rbf_svc.score(X_test, y_test)))

输出：

Accuracy: 0.97

代码中采用了鸢尾花数据集作为样本数据，使用了径向基核函数进行分类，并输出了分类准确率。