两端等距元素可以最大化XOR子序列

在计算机科学中，XOR操作是经常用到的一种位运算操作。因为XOR操作具有可逆性和运算顺序不影响结果的特点，所以常用于加密、校验等方面。一个数组的XOR子序列，是指从该数组中取出若干个元素，使得它们的XOR值最大。

当我们想要最大化一个XOR子序列时，可以考虑将数组的元素分为两部分，并尽量让这两部分的XOR值相等。

策略

具体的，我们可以将数组的元素排序后，把相邻的元素分为一组（如第1个和第2个，第3个和第4个），然后把每组的XOR值依次求出来。

假设数组中有一个元素为x，在第i组中出现了k次，那么对于这个元素，其对答案的贡献为$(k\bmod2)*x$。而一个元素不管出现在哪一组中，其对答案的贡献都是一样的。

因此，我们可以使用一个桶来维护每个元素在所有组中出现的次数，用一个变量pre来记录当前遍历到的元素前面所有元素的XOR值。随后，从头到尾遍历桶，对于每个元素，如果其在所有组中出现的次数$k$为偶数，那么其对答案的贡献为0，否则就用$(k-1)*x\bigoplus pre$来更新答案。注意，当$k=1$时，我们需要把当前元素加到pre中。

代码实现

以下是用C++实现的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int MAXN = 1e5 + 5;

int n, a[MAXN], cnt[MAXN], pre, ans;

signed main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        cnt[a[i]]++;
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
        if (a[i] == a[i + 1]) {
            cnt[a[i]] += 2;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= 1e5; i++) {
        if (!cnt[i]) continue;
        if (cnt[i] % 2 == 1) {
            if (cnt[i] == 1) {
                pre ^= i;
            } else {
                ans ^= (cnt[i] - 1) * i;
            }
        }
    }
    cout << (pre ^ ans) << endl;
    return 0;
}

以上C++代码中，我们首先读入数组，并将所有元素出现的次数存储在cnt数组中。接着，我们对数组排序，并判断相邻元素是否相同，如果相同，那么就在其出现的次数上加上2。最后，我们遍历cnt数组，对于每个出现了奇数次的元素，就用上文提到的式子来更新答案。最后的答案就是$pre\bigoplus ans$。