找出购买所有N个糖果的最小和最大金额

介绍

在实际生活中，我们经常需要购买一些商品，而我们有时候经常面临如何用最少的钱或者如何用最多的钱购买一定数量的商品的问题。这里我们讨论购买糖果的问题。假设我们有N个糖果，每个糖果有一个单价，现在我们需要购买所有的糖果，那么怎样才能用最少的钱或者最多的钱购买到所有的糖果呢？

解决方案

最小金额

如果我们需要购买所有的糖果，那么我们显然想要用最小的钱来购买它们。这个问题可以转化为背包问题，即给定N个物品，其费用为糖果的单价，价值为1，背包的大小为N，我们需要选出一些物品，使得它们的总费用不超过背包的大小N，且总价值最大。这个问题可以用动态规划来解决。

伪代码如下：

for i in range(N):
    for j in range(N, w[i], -1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])

其中，dp数组为背包的价值数组，dp[j] 表示当前容量为j时的最大价值；w数组为糖果的单价，v数组为糖果的价值。

代码片段如下（Python实现）：

def min_cost(N, prices):
    w = prices  # 糖果单价
    v = [1]*N  # 糖果价值为1
    dp = [0]*(N+1)  # 背包的价值数组，dp[j]表示当前容量为j时的最大价值
    for i in range(N):
        for j in range(N, w[i], -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])
    return dp[N]

最大金额

如果我们需要购买所有的糖果，那么我们还可以考虑如何用最多的钱购买它们。这个问题可以转化为背包问题，即给定N个物品，其费用为糖果的单价，价值为糖果的单价，背包的大小为N，我们需要选出一些物品，使得它们的总费用不超过背包的大小N，且总价值最大。这个问题同样可以用动态规划来解决。

伪代码如下：

for i in range(N):
    for j in range(w[i], N+1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+w[i])

其中，dp数组为背包的价值数组，dp[j] 表示当前容量为j时的最大价值；w数组为糖果的单价，也是糖果的价值。

代码片段如下（Python实现）：

def max_cost(N, prices):
    w = prices  # 糖果单价
    dp = [0]*(N+1)  # 背包的价值数组，dp[j]表示当前容量为j时的最大价值
    for i in range(N):
        for j in range(w[i], N+1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+w[i])
    return dp[N]

总结

购买糖果的最小金额和最大金额问题可以转化为背包问题，并用动态规划来解决。如果我们需要购买所有的糖果，那么我们可以用最小金额的解法；如果我们想用最多的钱购买所有的糖果，那么我们可以用最大金额的解法。注意，在解决这个问题的时候，糖果的单价既是费用也是价值，需要特别注意。