数组中缺少某个数字的出现，使得相邻元素的最大绝对差最小

问题描述

给出一个长度为n（n>=2）的整数序列，序列中可能缺少某个数字的出现。现在要在序列中插入一个数字，使得相邻元素的最大绝对差最小。

解法

思路

思路一：二分答案

• 对于一个答案x，可将题目转化为：是否存在一个位置j，满足在j的左边插入一个数k，使得相邻两数间的最大差值不超过x。
• 预处理出数组中相邻两数绝对值的最大值maxn，我们需要二分答案ans，对于每个ans，判断是否能在原序列中插入一个数满足条件。
• 二分过程中，取mid，从左往右找，取满足条件最左边的位置j，若存在这样的位置，则可以向左插入一个数，此时更新mid = ans - maxn，继续判断。
• 若不存在这样的位置，则说明mid太小，需要向右查找，更新left = mid + 1

思路二：贪心

• 若原数组长度为n，则插入的数k一定在区间[min(nums),max(nums)+1]中。
• 令mid = (max(nums) + min(nums)) // 2，统计数组nums中<=mid的数的个数cnt1和>mid的数的个数cnt2。
• 若cnt1 > cnt2，则新插入的数应该在区间[min(nums),mid]中，反之在区间(mid,max(nums)+1)中。
• 继续二分，在新的区间中寻找答案。

代码实现

以下为二分答案的代码实现：

def searchInsert(nums: List[int], target: int) -> int:
    left, right = 0, len(nums)
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return left

def insertMissingNumber(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    maxn = max(abs(nums[i] - nums[i-1]) for i in range(1, n))
    left, right = 0, maxn
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        i = searchInsert(nums, nums[0] + mid)
        if i == n or nums[i] > nums[0] + mid:
            i -= 1
        if abs(nums[i] - nums[0] - mid) <= maxn and abs(nums[i+1] - nums[0] - mid) <= maxn:
            return nums[0] + mid
        elif abs(nums[i+1] - nums[0] - mid) > maxn:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return nums[0] + left

以下为贪心的代码实现：

def searchCnt(nums: List[int], mid: int) -> Tuple[int, int]:
    cnt1, cnt2 = 0, 0
    for num in nums:
        if num <= mid:
            cnt1 += 1
        else:
            cnt2 += 1
    return cnt1, cnt2

def insertMissingNumber(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    left, right = min(nums), max(nums) + 1
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        cnt1, cnt2 = searchCnt(nums, mid)
        if cnt1 > cnt2:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

总结

本题时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)，可以通过本题。二分答案和贪心思路均可解决此问题。