检查 Toeplitz 矩阵

在矩阵中，Toeplitz 矩阵是一种非常特殊的矩阵类型。如果在矩阵中每个向下右移的主对角线上的元素相同，则该矩阵被称为 Toeplitz 矩阵。查找给定矩阵是否为 Toeplitz 矩阵是一项常见的任务。

在这篇文章中，我们将介绍如何检查给定的矩阵是否为 Toeplitz 矩阵，并提供一个基于 Python 的实现。

解决方案

对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $M$，我们可以分别检查其每一个下移的主对角线上的元素是否相同。具体而言，我们需要检查 $M_{i,j} = M_{i+1,j+1}$ 对于所有 $1 \le i < m$ 且 $1 \le j < n$ 是否成立。

如果上述条件都满足，则 $M$ 是一个 Toeplitz 矩阵。

代码实现

基于上述思路，我们可以很容易地实现一个 Python 函数来检查给定矩阵是否为 Toeplitz 矩阵：

def isToeplitzMatrix(matrix: List[List[int]]) -> bool:
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    for i in range(m-1):
        for j in range(n-1):
            if matrix[i][j] != matrix[i+1][j+1]:
                return False
    return True

上述代码中，我们首先获取矩阵的行数和列数。然后，我们使用两个嵌套的循环遍历每一个下移的主对角线上的元素，并检查它们是否相同。如果找到两个不同的元素，则立即返回 False。否则，我们将最终返回 True，表示该矩阵是 Toeplitz 矩阵。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何检查给定矩阵是否为 Toeplitz 矩阵。我们首先讨论了 Toeplitz 矩阵的定义，然后提出了一种基于暴力遍历所有元素的解决方案。最后，我们给出了一个基于 Python 的实现。

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