查找给定长度的有效括号表达式的数量

在计算机科学领域中，括号匹配问题是一个非常重要的问题。在本题中，我们需要查找给定长度的有效括号表达式的数量。

有效括号表达式指的是具有以下性质的字符串：

1. 字符串中只包含括号 () ；
2. 左括号 ( 和右括号 ) 必须按照正确的顺序配对；
3. 空字符串被认为是有效的。

例如：

• ()、()(())、(()())、(((()))) 都是有效的括号表达式；
• ((、))(、(() 不是有效的括号表达式。

解题思路

对于长度为 n 的字符串，我们可以将其分为两部分：左括号部分和右括号部分，它们的长度分别为 i 和 j，且满足 i + j = n。

我们可以通过枚举左括号的数量 i，进而确定右括号的数量 j。对于每对括号，我们只需确保它们的位置能够配对即可。因此，可以使用递归来实现。

具体实现方式为：

1. 如果字符串长度为 0，则返回 1；
2. 如果左括号的数量小于右括号的数量，则返回 0；
3. 否则，递归计算左括号数量减一的情况和右括号数量减一的情况，将它们的和返回即可。

代码实现

以下是 Python 代码的实现，时间复杂度为 O(4^n / sqrt(n))，空间复杂度为 O(n)。

class Solution:
    def generateParenthesis(self, n: int) -> List[str]:
        def backtrack(ans: List[str], cur: str, left: int, right: int, n: int):
            if len(cur) == 2 * n:
                ans.append(cur)
                return
            if left < n:
                backtrack(ans, cur + '(', left + 1, right, n)
            if right < left:
                backtrack(ans, cur + ')', left, right + 1, n)
        ans = []
        backtrack(ans, '', 0, 0, n)
        return ans

总结

本题是一个典型的递归问题，在计算机科学中非常常见。通过本题的解答，可以加深对递归的理解，同时也能够提高代码实现的能力。