📅 最后修改于: 2023-12-03 15:11:19.091000 🧑 作者: Mango
在计算机科学中，正位（正整数位）、最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）和最大子集（Maximum Subarray）是常见的问题。
正位（正整数位）是指如 $123$、$456$、$789$ 等这样的数字序列，其中每个数字都比前一个数字大 $1$。例如，$456$ 是 $123456789$ 中的一部分正位子序列。
在计算正位时，一个简单的解决方案是对输入的数字序列进行遍历，检查每个数字是否比前一个数字大 $1$。如果是，则序列中出现了一个新的正位序列，计数器加 $1$。
下面是 Python 代码片段，实现正位的计算：
def countIncreasingSequences(nums):
count = 1
for i in range(1, len(nums)):
if nums[i] == nums[i-1] + 1:
count += 1
return count
时间复杂度为 $O(n)$。
最长上升子序列（LIS）是指在一个数字序列中，找到一个非连续的子序列，使得子序列中的数字满足单调递增。例如，对于序列 $[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]$，最长上升子序列为 $[2, 3, 7, 101]$，长度为 $4$。
最长上升子序列问题是一个经典的动态规划问题。本质上，LIS 是在一个数字序列中查找最长的子序列，使得该子序列中的数字是单调递增的。因此，该问题可以使用动态规划算法来解决。下面是 Python 代码片段，实现 LIS 的计算：
def lengthOfLIS(nums):
if not nums:
return 0
n = len(nums)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
时间复杂度为 $O(n^2)$。
最大子集是指在一个数字序列中，找到一个连续的子序列，它的和最大。例如，对于序列 $[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]$，最大子集为 $[4, -1, 2, 1]$，和为 $6$。
在计算最大子集时，一个简单的解决方案是对输入的数字序列进行遍历，每次取出一个连续的子序列，然后计算出子序列的和，最后比较得出最大的子集。
下面是 Python 代码片段，实现最大子集的计算：
def maxSubArray(nums):
if not nums:
return 0
n = len(nums)
curr_sum = max_sum = nums[0]
for i in range(1, n):
curr_sum = max(nums[i], curr_sum + nums[i])
max_sum = max(max_sum, curr_sum)
return max_sum
时间复杂度为 $O(n)$。