两个连续子数组之和之间的最大绝对差

介绍

给定一个整数数组 nums，找到两个不重叠的子数组，使得它们的和的绝对差最大。每个子数组的长度为非零，且它们的总长度始终等于 nums 数组的长度。

返回最大的绝对差。

方法

这道题可以使用动态规划方法来解决。

我们用 $dp_{i,j}$ 表示前 $i$ 个元素分成 $j$ 段的最大子数组和。假设当前要分的是第 $j$ 段，则最后一段的子数组范围为 $[k,i]$，可以得出状态转移方程为：

$$ dp_{i,j} = \max {dp_{k,j-1} + \sum_{l=k+1}^{i} nums[l],\ (1 \leq k \leq i-1) } $$

其中，第一部分 $dp_{k,j-1}$ 表示前 $k$ 个元素分成 $j-1$ 段的最大子数组和，第二部分 $\sum_{l=k+1}^{i} nums[l]$ 表示从 $k+1$ 到 $i$ 的元素的和，也就是最后一段的子数组和。

最终答案为 $\max\limits_{0 \leq i \leq n-1} ( dp_{i,m} - dp_{i-1,m} )$，其中 $m$ 表示分成的子数组段数。

代码

以下是使用 Python 语言实现的代码：

class Solution:
    def maxDiffSubArrays(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        dp_max, dp_min = [[0] * (n + 1) for _ in range(2)]
        max_sum, min_sum = [float('-inf')] * n, [float('inf')] * n
        
        for i in range(n):
            cur_sum_max, cur_sum_min = 0, 0
            for j in range(i, n):
                cur_sum_max += nums[j]
                cur_sum_min += nums[j]
                max_sum[j] = max(max_sum[j], cur_sum_max)
                min_sum[j] = min(min_sum[j], cur_sum_min)
                if i >= 1:
                    dp_max[1][j+1] = max(dp_max[1][j+1], dp_min[0][i] + max_sum[j] - min_sum[i-1])
                    dp_min[1][j+1] = min(dp_min[1][j+1], dp_max[0][i] - max_sum[j] + min_sum[i-1])
            dp_max[0][i+1] = max_sum[i]
            dp_min[0][i+1] = min_sum[i]
        
        ans = 0
        for i in range(1, n):
            ans = max(ans, abs(dp_max[1][i] - dp_max[1][i-1]),
                            abs(dp_min[1][i] - dp_min[1][i-1]))
        
        return ans

其中，dp_max 和 dp_min 用来储存前 $i$ 个元素分成 $j$ 段的最大子数组和和最小子数组和。同时，还需要使用 max_sum 和 min_sum 分别表示第 $i$ 个元素到第 $j$ 个元素的最大子数组和和最小子数组和。在每次更新最大子数组和和最小子数组和时，需要将前面计算的最大值和最小值取出来，然后进行比较更新。最后，在遍历 dp_max 和 dp_min 数组时，计算每个位置与前面位置的最大绝对差，返回其中最大值即可。