排列的计数，使得给定范围内的 K 个数字的总和是偶数

题目描述：给定范围 [L,R] 和整数 K，计算在此范围内选取 K 个数的不同排列数，使得这 K 个数字的总和是偶数。

示例：

输入: L = 2, R = 6, K = 2
输出: 6
解释: 2+4和4+2，一共有2种排列的方式。

解法思路

• 要求 K 个数字的总和为偶数，意味着选的数字中必须有偶数个奇数和偶数个偶数。
• 排列数的计算可以使用组合数公式，即 C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!), 表示从 n 个元素中选出 m 个元素的组合数。
• 因为求的是排列，需要将组合数再乘以 m!，即 C(n,m)*m!，表示从 n 个元素中选出 m 个元素的不同排列数。
• 对于偶数个奇偶数，可以分别计算奇数个数为 0~K 和偶数个数为 0~K 的情况，再用乘法原理合并结果。
• 注意考虑 L 和 R 的值域范围。

代码实现

def count_even_sum(L: int, R: int, K: int) -> int:

    def combination(n, m):
        res = 1
        for i in range(m):
            res = res * (n - i) // (i + 1)
        return res

    if L > R:
        return 0

    # 计算奇数个数为 0~K 和偶数个数为 0~K 的情况
    odd = 0
    even = 0
    for i in range(K + 1):
        if i % 2 == 0:
            even += combination(R - L + 1, i)
        else:
            odd += combination(R - L + 1, i)

    return even * combination(K, K // 2) + odd * combination(K, K // 2 + 1)

测试用例说明

使用 Python 自带的 unittest 模块，编写测试用例并进行测试。

import unittest

class TestCountEvenSum(unittest.TestCase):

    def test_example(self):
        L, R, K = 2, 6, 2
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 6)

    def test_invalid_input(self):
        L, R, K = 6, 2, 2
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 0)

    def test_odd_zeros(self):
        L, R, K = 1, 4, 3
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 4)

    def test_even_zeros(self):
        L, R, K = 1, 4, 2
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 6)

    def test_all_odd(self):
        L, R, K = 1, 8, 4
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 70)

    def test_all_even(self):
        L, R, K = 1, 8, 3
        self.assertEqual(count_even_sum(L, R, K), 90)

if __name__ == '__main__':
    unittest.main()

总结

该题目可以通过构造奇偶分配的方法和排列组合公式结合得到解题思路，时间复杂度为 O(K)。在实际的应用场景中，排列组合是一个非常常见的数学工具，涉及的算法和思路也是程序员非常需要熟练掌握和应用的。