关于排列从 1 到 K 范围内的 N 个数字的方法数

在程序设计中，经常会遇到需要排列从1到K范围内的N个数字的情况，而给定的约束条件会影响可行方案数目。这里介绍几种常见的方法，以及其时间复杂度和适用范围。

1.递归

递归是最基础的解法，可以根据题目的不同要求进行剪枝，从而达到不同的时间复杂度。例如，要求第k个排列时，可以根据阶乘数值的大小预估出大概的范围，然后直接跳到该范围内搜索，从而减少无效搜索。

def permutation(n, k, nums):
    if k == 1:
        return nums
    fac = factorial(n-1)
    p = (k-1) // fac
    return str(nums[p]) + permutation(n-1, k-p*fac, nums[:p]+nums[p+1:])

时间复杂度：O(N!)，空间复杂度：O(N)。

2.动态规划

动态规划算法的思想是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。在这个问题中，dp[i][j]表示从1到i的数字构成长度为j的排列的方法数目。状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + (i-1)*dp[i-1][j]。

def permutation(n, k, nums):
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + (i-1) * dp[i-1][j]
    res = ""
    j = n
    for i in range(1, n+1):
        cnt = dp[n][j]
        p = (k-1) // cnt
        res += str(nums[p])
        nums.pop(p)
        k = k - p * cnt
        j -= 1
    return res

时间复杂度：O(N^2)，空间复杂度：O(N^2)。

3.数学公式

这种方法最为简单，就是根据数学公式求出第k个排列。具体来说，将n个数的全排列按字典序排序，第k个排列就是第(k-1)个排列。对于长度为n的排列，第i位上的数字是从剩下的(n-i)!个数字中选出第ceil(k/(n-i)!)个未使用数字。其中，ceil表示取上整函数。

def permutation(n, k, nums):
    res = ""
    k -= 1
    fact = factorial(n)
    for i in range(n, 0, -1):
        fact //= i
        index = k // fact
        k %= fact
        res += str(nums[index])
        nums.pop(index)
    return res

时间复杂度：O(N^2)，空间复杂度：O(N)。

根据具体问题的约束条件，选择不同的算法和数据结构可以使得程序运行更快，因此了解和掌握各种解法的优缺点是程序员必不可少的技能。