通过从给定的N对中选择N个数获得的最小和

问题描述

有N个二元组，每个二元组包含两个整数。从这些二元组中选择N个整数，可以构成一个由N个整数组成的集合。集合中每个位置对应一个二元组，该位置的值为该二元组中选择的整数的一个。现在的问题是，如何从这些二元组中选择N个整数，使得这N个整数的和最小。

解决方案

这是一个典型的组合优化问题。我们可以通过枚举所有可能的组合，并计算它们的和，从中选出最小值。但是这个算法的时间复杂度是指数级的，不可行。

经过观察，我们可以发现，假设有两个二元组(A, B)和(C, D)，使得A <= C且B <= D，那么构成的集合中，选择A和D以及选择C和B所得到的和的差值一定不小于0，即(A+D)-(C+B) >= 0。这意味着，从所有的二元组中，我们只需要选择一个数最小的N个二元组，然后从每个二元组中选择数值较小的整数，即可得到最小和。

现在问题变成了如何选择最小的N个二元组。我们可以使用堆来实现。维护一个大小为N的最大堆，遍历所有二元组，将其中的最小值放入堆中。当堆的大小超过N时，弹出堆顶元素。最后堆中剩余的二元组中的数值即为所求的N个整数。

时间复杂度

我们需要遍历所有的N个二元组，每个二元组中选择较小的整数，所以时间复杂度为O(NlogN)。

代码实现

import heapq

def min_sum(nums, n):
    heap = []
    for a, b in nums:
        if len(heap) < n:
            heapq.heappush(heap, (-a, b))
        else:
            if a < -heap[0][0]:
                heapq.heappop(heap)
                heapq.heappush(heap, (-a, b))
    return sum(x[1] for x in heap)

# 示例代码
nums = [(1, 2), (2, 3), (4, 5), (3, 6)]
n = 3
print(min_sum(nums, n))  # 输出9

以上是本问题的解决方案和示例代码。