从给定数组中精确选择K个偶数的方法数量

给定一个数组，我们需要从中精确选择K个偶数的方法数量。这是一个经典的组合计数问题，可以用数学公式或递归算法来解决。

数学公式

设数组中偶数个数为m，选择k个偶数的方法数量为C(m,k)，则有以下公式：

$$C(m,k)=\frac{m*(m-1)...(m-k+1)}{k!}$$

其中$$$$表示乘法，$$!$$表示阶乘，即$$k!=k(k-1)*...21$$

这个公式的推导过程可以用排列组合知识证明，这里不再赘述。

下面是Python代码实现：

from math import factorial

def count_combinations(arr, k):
    even_nums = [num for num in arr if num % 2 == 0]
    m = len(even_nums)
    if k > m:
        return 0
    return factorial(m) // (factorial(k) * factorial(m - k))

这个函数接受一个数组以及需要选择的偶数个数k。它首先筛选出数组中的偶数，并计算出偶数个数m。如果k大于m，显然方案数为0；否则，根据上述公式计算出方案数。注意，这里用了Python中的math库来求阶乘，需要进行导入。

递归算法

除了数学公式，我们也可以使用递归算法来解决这个问题。具体来说，我们可以针对每个数，分别选择或不选择，进行递归计算。

下面是Python代码实现：

def count_combinations(arr, k):
    even_nums = [num for num in arr if num % 2 == 0]
    if k > len(even_nums):
        return 0
    if k == 0:
        return 1
    return count_combinations(arr[1:], k) + count_combinations(arr[1:], k-1) if arr[0] % 2 == 0 else count_combinations(arr[1:], k)

这个函数与上一个函数的输入相同，也是一个数组以及需要选择的偶数个数k。首先，我们筛选出数组中的偶数，然后进行递归计算。如果k大于偶数个数，显然方案数为0；如果k等于0，显然只有一种方案，即什么都不选。否则，我们需要根据第一个数（偶数或奇数）进行递归计算。如果第一个数是偶数，则需要在剩下的数组中选择k-1个偶数，否则需要选择k个偶数。

需要注意的是，这个递归算法的时间复杂度较高，可能不适用于大规模的输入。更好的做法是将其转化为动态规划问题，使用二维数组来存储中间结果，从而避免重复计算。