从给定的 N 个范围中精确选择 K 个非不相交范围的方法数

在计算机科学中，许多问题都可以通过组合数学来解决，而从给定的 N 个范围中精确选择 K 个非不相交范围的方法数也不例外。

问题描述

假设有 N 个范围（区间），每个范围用左右端点表示，例如 $[a_i, b_i]$ 表示第 i 个范围为从 a 到 b 的直线段，且范围之间可能有交集。现在要从这 N 个范围中精确选择 K 个范围，使得所选的 K 个范围互不相交（即不重叠），问有多少种选择 K 个范围的方案。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决，设 $dp_{i,j}$ 表示前 i 个范围中选 j 个不相交的范围的方案数。可以根据选或不选第 i 个范围，来得到状态转移方程：

$$ dp_{i,j} = \max { dp_{i-1,j}, dp_{k-1,j-1} + 1 }, a_k \leq b_i,\ k < i $$

其中 $dp_{i-1,j}$ 表示不选第 i 个范围，而 $dp_{k-1,j-1}+1$ 表示选了第 i 个范围，且与前 k-1 个已选范围不相交。上述状态转移方程的意义是从前 i-1 个范围中选 j 个不相交的范围（不选第 i 个范围），或者是从前 k-1 个已选范围中再选一个范围与第 i 个范围相交（选第 i 个范围）。最终的结果就是 $dp_{N,K}$。

时间复杂度为 $O(N^2K)$。

代码实现（Python）

def count_ranges(n: int, k: int, ranges):
    # ranges[i] = [left_i, right_i]
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]  # 初始化 dp 数组为 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            # 不选第 i 个范围
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            # 选第 i 个范围
            for k in range(i-1, -1, -1):
                if ranges[k][1] <= ranges[i-1][0]:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1] + 1)
    return dp[n][k]

总结

本文介绍了如何用动态规划来解决从给定的 N 个范围中精确选择 K 个非不相交范围的方法数的问题。希望能对读者有所帮助。