在索引中找到所有元素的乘积，它们是长度M的所有可能排序子序列的M因子

这是一个考验编程技巧和数学知识的问题。首先，我们需要回顾一下排列组合的概念以及乘法原理和加法原理的运用。

排列组合

假设我们有n个不同的物品，要从中选取m个，且m <= n。则选出m个物品的方案数为：

$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

其中，n!表示n的阶乘，即1 * 2 * ... * n；（n-m)!表示(n-m)的阶乘。

排列的概念表示从n个不同物品中，选取m个物品进行有序排列的方案数，可以表示为：

$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

组合的概念表示从n个不同物品中，选取m个物品进行无序排列的方案数，可以表示为：

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

乘法原理和加法原理

乘法原理用于计算在一系列相互独立的事件中，所有事件都发生的概率。例如，投掷两个骰子，同时得到两个指定的点数。

如果第一个骰子有n个可能的结果，第二个骰子有m个可能的结果，那么同时得到两个指定点数的概率为：

$\frac{1}{n} * \frac{1}{m} = \frac{1}{nm}$

假设我们从一组n个数中，选取m个数，那么这m个数的乘积为k的概率是多少？假设这个概率为P(k)，我们可以将问题看做m个独立的事件，每个事件都是从n个数中选出一个数，使其等于k。因此：

$P(k) = (\frac{1}{n})^m$

这个概率同样可以应用乘法原理：

$P(k) = \frac{A_n^m}{n^m} = \frac{n!}{m!(n-m)! * n^m}$

加法原理用于计算在一组不相交的事件中至少发生一个事件的概率。例如，红球有3个，白球有2个，黑球有4个，从中选择2个球，至少选一个红球的概率是多少？

我们可以计算选出两个球都不是红球的概率：

$P(\text{两个球都不是红球}) = \frac{2}{9}*\frac{1}{8} = \frac{1}{36}$

因此，至少选一个红球的概率为：

$P(\text{至少选一个红球}) = 1 - P(\text{两个球都不是红球}) = \frac{35}{36}$

解决问题

现在我们回到本题，我们需要在一个长度为n的数组中选取m个数，计算它们的乘积，并找到所有这样的m元组，使得它们的乘积是原数组中的一个因子。

总结一下，我们需要做以下三步：

1. 找出原数组中所有的因子；
2. 对于每个因子，计算它的因子数，即m元组的数量；
3. 计算每个因子的所有m元组的乘积和。

实现这个过程的代码如下：

def find_factors(arr):
    """
    在数组中找到所有的因子。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。

    Returns:
    --------
    list[int]
        所有的因子。
    """
    factors = set()
    for num in arr:
        if num == 0:
            continue
        for i in range(1, int(num ** 0.5) + 1):
            if num % i == 0:
                factors.add(i)
                factors.add(num // i)
    return sorted(list(factors))


def calculate_num_tuples(arr, factor):
    """
    计算一个给定因子下的m元组数量。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。
    factor : int
        给定的因子。

    Returns:
    --------
    int
        m元组的数量。
    """
    num_tuples = 0
    for num in arr:
        if num % factor == 0:
            num_tuples += 1
    if num_tuples < len(arr):
        return 0
    return int(math.factorial(num_tuples) / (math.factorial(len(arr) - num_tuples) * math.factorial(num_tuples - len(arr))))


def calculate_product(arr, tuples):
    """
    计算一个元组列表的乘积。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。
    tuples : list[int]
        元组列表。

    Returns:
    --------
    int
        元组列表的乘积。
    """
    product = 1
    for idx in tuples:
        product *= arr[idx]
    return product

我们可以使用这个函数来解决我们的问题。例如，对于数组[2, 3, 5]，我们可以找出所有的因子，得到[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30]。然后，对于每个因子，计算它的因子数（即m元组数量）和所有m元组的乘积和。

完整代码如下：

import math

def find_factors(arr):
    """
    在数组中找到所有的因子。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。

    Returns:
    --------
    list[int]
        所有的因子。
    """
    factors = set()
    for num in arr:
        if num == 0:
            continue
        for i in range(1, int(num ** 0.5) + 1):
            if num % i == 0:
                factors.add(i)
                factors.add(num // i)
    return sorted(list(factors))


def calculate_num_tuples(arr, factor):
    """
    计算一个给定因子下的m元组数量。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。
    factor : int
        给定的因子。

    Returns:
    --------
    int
        m元组的数量。
    """
    num_tuples = 0
    for num in arr:
        if num % factor == 0:
            num_tuples += 1
    if num_tuples < len(arr):
        return 0
    return int(math.factorial(num_tuples) / (math.factorial(len(arr) - num_tuples) * math.factorial(num_tuples - len(arr))))


def calculate_product(arr, tuples):
    """
    计算一个元组列表的乘积。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。
    tuples : list[int]
        元组列表。

    Returns:
    --------
    int
        元组列表的乘积。
    """
    product = 1
    for idx in tuples:
        product *= arr[idx]
    return product


def find_subsequence_product(arr, m):
    """
    在数组中找到所有长度为m的子序列的乘积，并返回这些乘积中，所有在原数组中的因子。

    Parameters:
    -----------
    arr : list[int]
        输入的数组。
    m : int
        子序列的长度。

    Returns:
    --------
    list[int]
        所有在原数组中的因子。
    """
    factors = find_factors(arr)
    results = set()
    for factor in factors:
        num_tuples = calculate_num_tuples(arr, factor)
        if num_tuples == 0:
            continue
        tuples = [idx for idx, num in enumerate(arr) if num % factor == 0]
        for sub_tuples in itertools.combinations(tuples, m):
            results.add(calculate_product(arr, sub_tuples) // factor)
    return sorted(list(results)))

总结

本文介绍了如何解决在一个长度为n的数组中找到所有长度为m的子序列的乘积，并返回这些乘积中，所有在原数组中的因子的问题。主要用到了数学中的排列组合、乘法原理和加法原理等概念。

具体实现中，我们可以先找出原数组中的所有因子，然后对于每个因子，计算它的因子数（即m元组数量）和所有m元组的乘积和。这个问题需要较强的编程思维和算法实现能力，对于程序员来说是一次不错的练习。