在所有 i 和 j 对中找到 a[i] % a[j] 的最大可能值

给定一个长度为 n 的数组 a，求在所有 i 和 j 对中，a[i] % a[j] 的最大可能值是多少。

例如，当 a = [1, 2, 3, 4, 5] 时，a[2] % a[0] 的结果是 1，这是所有可能的 i 和 j 对中，a[i] % a[j] 的最大值。

方法一：暴力枚举

最直接的方法是使用两层循环枚举所有 i 和 j 的取值，然后计算 a[i] % a[j] 的结果并取最大值。

def max_modulo(a):
    n = len(a)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i != j:
                res = max(res, a[i] % a[j])
    return res

这种方法的时间复杂度是 O(n^2)，当数组长度很大时会很慢。

方法二：排序

我们注意到，当 a[i] > a[j] 时，a[i] % a[j] 的结果一定小于 a[j]，因此我们可以先将数组排序，然后依次计算相邻两个元素之间的差值，得到最大的差值即为所求。这种方法的时间复杂度是 O(n log n)。

def max_modulo(a):
    n = len(a)
    a.sort()
    res = 0
    for i in range(1, n):
        res = max(res, a[i] - a[i - 1])
    return res

方法三：线性扫描

我们注意到，在上一个方法中，我们只用到了数组的最大值和最小值，换句话说，我们只需要找到这两个值即可。

因此，我们可以使用线性扫描的方法，在遍历数组时维护当前的最大值和最小值，最终的答案即为最大值减去最小值。这种方法的时间复杂度是 O(n)。

def max_modulo(a):
    n = len(a)
    min_val, max_val = a[0], a[0]
    for i in range(1, n):
        min_val = min(min_val, a[i])
        max_val = max(max_val, a[i])
    return max_val - min_val

这三种方法的时间复杂度分别为 O(n^2)、O(n log n) 和 O(n)，因此，当数据规模较大时，我们应该使用后两种方法中的一种。