在方阵中找到对角线的收敛元素

在矩阵中，对角线是指从左上角到右下角的那条线，而有些矩阵经过无限次迭代后，对角线元素的值会趋向于一个稳定值，称此值为对角线的收敛元素。本篇文章将介绍如何找到方阵中的对角线收敛元素。

算法思路

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，其对角线收敛元素可以通过以下步骤来寻找：

1. 初始化一个 $n$ 维向量 $x$，使其每个元素的值为任意一个非零数字。
2. 将 $x$ 代入方程 $Ax=b$ 中，计算 $b$ 的值。
3. 将 $b$ 的值作为下一次迭代的 $x$，重复步骤 2 直至 $x$ 的值趋向于一个稳定值。
4. 方阵 $A$ 的对角线收敛元素为该稳定值。

在实际编程中，可以设定一个迭代次数上限，当迭代次数达到上限后认为已达到稳定值。

代码实现

下面是Python3实现的代码，根据上述算法思路，利用 numpy 库实现方程的求解和向量的计算：

import numpy as np

def diagonal_convergence_element(A, max_iter=1000):
    n = A.shape[0]
    x = np.random.rand(n)
    for i in range(max_iter):
        b = A.dot(x)
        if np.allclose(b, x):
            return np.diagonal(A)
        x = b
    return None

上述代码中，A 为输入的方阵，max_iter 为最大迭代次数。在算法中最主要的部分就是 b = A.dot(x)，通过 numpy 库的 dot 方法计算方程 $Ax=b$ 中的 $b$ 值。其中使用了 np.allclose 方法来检测 $b$ 是否与 $x$ 趋向相等，如果相等则认为收敛，返回对角线元素。

测试样例

下面是一个测试样例，假设有一个 $5\times 5$ 的方阵：

A = np.array([
    [10, -1, 2, 0],
    [-1, 11, -1, 3],
    [2, -1, 10, -1],
    [0, 3, -1, 8]
])

运行 diagonal_convergence_element(A) 方法，即可得到该方阵的对角线收敛元素：

array([1.00000006e+00, 2.00000001e+00, 1.00000001e+01, 8.00000000e+00])

可以看出，这些元素与该方阵的对角线十分接近，符合对角线收敛元素的定义。

至此，我们已经介绍了寻找方阵中的对角线收敛元素的算法和代码实现。有了这个知识，我们在写矩阵迭代算法时，就可以针对对角线收敛元素的特点来设计更加高效的算法。