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📜  收敛区域(ROC)

📅  最后修改于: 2020-11-22 17:32:16             🧑  作者: Mango

拉普拉斯变换收敛的σ范围变化称为收敛区域。

拉普拉斯变换的ROC性质

  • ROC包含平行于s平面中jω轴的带状线。

    带状线

  • 如果x(t)是绝对整数且持续时间有限，则ROC是整个s平面。

  • 如果x(t)是一个右双面序列然后ROC：回复{S}>σO操作。

  • 如果x(t)是一个左侧双面序列然后ROC：回复{S} <σO操作。

  • 如果x(t)是两侧序列，则ROC是两个区域的组合。

可以通过以下示例解释ROC：

示例1：找到$ x(t)= e-^ {at} u(t)$的Laplace变换和ROC

$ LT [x(t)] = LT [e-^ {at} u(t)] = {1 \ over S + a} $

$ Re {} \ gt -a $

$ ROC：Re {s} \ gt> -a $

带状线

示例2：找到$ x(t)= e ^ {at} u(-t)$的Laplace变换和ROC

$ LT [x(t)] = LT [e ^ {at} u(t)] = {1 \ over Sa} $

$ Re {s}

$ ROC：Re {s}

带状线

示例3：找到$ x(t)= e ^ {-at} u(t)+ e ^ {at} u(-t)$的Laplace变换和ROC

$ LT [x(t)] = LT [e ^ {-at} u(t)+ e ^ {at} u(-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $

对于$ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $

对于$ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $

带状线

参考上图，组合区域从-a到a。因此，

$ ROC：-a

因果关系和稳定性

  • 为了使系统具有因果关系，其传递函数的所有极点都必须在s平面的右半边。

    休闲系统

  • 当传递函数的所有极点都位于s平面的左半部分时，该系统就是稳定的。

    稳定的系统

  • 当系统的传递函数的至少一个极点移到s平面的右半部分时，该系统就是不稳定的。

    系统不稳定

  • 当系统的传递函数的至少一个极点位于s平面的jω轴上时，则称该系统为边际稳定。

    边际稳定系统

基本功能的ROC

f(t) F(s) ROC
$u(t)$ $${1\over s}$$ ROC: Re{s} > 0
$ t\, u(t) $ $${1\over s^2} $$ ROC:Re{s} > 0
$ t^n\, u(t) $ $$ {n! \over s^{n+1}} $$ ROC:Re{s} > 0
$ e^{at}\, u(t) $ $$ {1\over s-a} $$ ROC:Re{s} > a
$ e^{-at}\, u(t) $ $$ {1\over s+a} $$ ROC:Re{s} > -a
$ e^{at}\, u(t) $ $$ – {1\over s-a} $$ ROC:Re{s} < a
$ e^{-at}\, u(-t) $ $$ – {1\over s+a} $$ ROC:Re{s} < -a
$ t\, e^{at}\, u(t) $ $$ {1 \over (s-a)^2} $$ ROC:Re{s} > a
$ t^{n} e^{at}\, u(t) $ $$ {n! \over (s-a)^{n+1}} $$ ROC:Re{s} > a
$ t\, e^{-at}\, u(t) $ $$ {1 \over (s+a)^2} $$ ROC:Re{s} > -a
$ t^n\, e^{-at}\, u(t) $ $${n! \over (s+a)^{n+1}} $$ ROC:Re{s} > -a
$ t\, e^{at}\, u(-t) $ $$ – {1 \over (s-a)^2} $$ ROC:Re{s} < a
$ t^n\, e^{at}\, u(-t) $ $$ – {n! \over (s-a)^{n+1}} $$ ROC:Re{s} < a
$ t\, e^{-at}\,u(-t) $ $$ – {1 \over (s+a)^2} $$ ROC:Re{s} < -a
$ t^n\, e^{-at}\, u(-t) $ $$ – {n! \over (s+a)^{n+1}} $$ ROC:Re{s} < -a
$ e^{-at} \cos \, bt $ $$ {s+a \over (s+a)^2 + b^2 } $$
$ e^{-at} \sin\, bt $ $$ {b \over (s+a)^2 + b^2 } $$