通过将每个节点包含在 N 元树的一个段中，每个节点可能的最大和

什么是 N 元树

N 元树是一种常见的树结构，它允许每个节点有多个子节点，而不是只有两个子节点（即二叉树）。在计算机科学中，N 叉树在文件系统、XML、数据库等许多领域中被广泛使用。

问题描述

给定一个 N 元树，每个节点包含一个整数值。你需要找到一个路径，该路径从树的根节点开始，经过任意个节点，以达到树的某个叶子节点。路径上的所有节点的整数值之和应尽可能大。

每个节点可能包含负整数。

解决方案

基本思路

问题可以分解为两个子问题：

1. 对于每个节点 i，计算其所有子节点的最大路径和 s(i)。
2. 在整棵树中选择一个根节点，使得根节点的所有子节点的最大路径和之和尽可能大。

为了找到每个子节点的最大路径和，可以使用递归。具体来说：

• 对于叶子节点，最大路径和就是它自己的值。
• 对于有子节点的节点 i，最大路径和等于它的值加上子节点中具有最大路径和的值 sum_max。

对于第二个子问题，可以用深度优先搜索遍历整棵树，对于每个节点 i，计算“以 i 为根节点的子树”的最大路径和 s(i)。这样就可以得到整棵树中所有子树的最大路径和，选择其中的最大值即可。

时间复杂度为 O(n)，其中 n 是 N 元树中节点的数量。

代码示例

class TreeNode:
    def __init__(self, value, children=None):
        self.value = value
        self.children = children or []

def max_path_sum(root: TreeNode) -> int:
    def dfs(node: TreeNode) -> int:
        # 叶子节点的最大路径和就是节点本身的值
        if not node.children:
            return node.value

        # 否则，最大路径和等于节点值加上子节点中最大路径和的和
        max_sum = node.value
        max_child_sum = float('-inf')
        for child in node.children:
            child_sum = dfs(child)
            max_child_sum = max(max_child_sum, child_sum)
        if max_child_sum > 0:
            max_sum += max_child_sum

        return max_sum
    
    max_sum = float('-inf')
    for child in root.children:
        child_sum = dfs(child)
        max_sum = max(max_sum, child_sum)

    return max_sum

总结

通过将每个节点包含在 N 元树的一个段中，每个节点可能的最大和，是一个经典的树问题，可以用递归和深度优先搜索来解决。这个问题可以转化为求每个节点的最大路径和，并选择整棵树中所有子树的最大路径和的最大值作为答案。该问题的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是 N 元树中节点的数量。