节点到树的每个节点的最远距离

在树结构中，一个节点到树的每个节点的最远距离是一个常见的问题。这个问题的解法有多种，以下将介绍其中的两个解法。

解法一

思路

对于一个节点，其到树的每个节点的最远距离，要么经过祖先节点，要么经过子孙节点。因此可以考虑以每个节点为根节点，计算出其到子孙节点的最长路径和次长路径，然后将二者相加就可以得到答案。

具体实现时，可以使用递归的方式遍历树，计算以每个节点为根节点的最长路径和次长路径，并将其存储到一个数组中。遍历完成后，再用这个数组来计算每个节点到树的所有节点的最远距离。

代码实现

# 定义树节点类
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def __init__(self):
        self.max_path = []  # 用一个数组存储每个节点的最长路径和次长路径
        
    def diameterOfBinaryTree(self, root: TreeNode) -> List[int]:
        self.maxLength(root)
        res = [0] * len(self.max_path)
        for i in range(len(self.max_path)):
            res[i] = max(self.max_path[i])
            for j in range(len(self.max_path[i])):
                if j != self.max_path[i].index(max(self.max_path[i])):
                    res[i] = max(res[i], self.max_path[i][j] + max(self.max_path[i]) + 1)
        return res
                
    def maxLength(self, root):
        if not root:
            return [0, 0]
        left_maxPath = self.maxLength(root.left)
        right_maxPath = self.maxLength(root.right)
        maxFromLeft = left_maxPath[0] + 1
        maxFromRight = right_maxPath[0] + 1
        maxPath = [max(maxFromLeft, maxFromRight), max(left_maxPath), max(right_maxPath)]
        self.max_path.append(maxPath)
        return [max(maxFromLeft, maxFromRight), max(max(left_maxPath), max(right_maxPath)) + 1]

解法二

思路

上一种解法的时间复杂度为 $O(n^2)$，较慢。我们需要寻找一种时间复杂度更低的解法。

我们可以发现，对于任意一个节点来说，其到树的每个节点的最远距离是其左子树的高度和右子树的高度之和。因此，我们只需要计算每个节点的左子树高度和右子树高度，然后取其和，即可得到答案。

具体实现时，可以使用递归的方式求解每个节点的高度。在递归过程中，不仅需要计算每个节点的高度，还需要计算节点到树的每个节点的最大距离。这可以通过更新一个全局变量来实现。

代码实现

# 定义树节点类
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def __init__(self):
        self.max_distance = 0
        
    def diameterOfBinaryTree(self, root: TreeNode) -> int:
        self.getHeight(root)
        return self.max_distance
        
    def getHeight(self, root):
        if not root:
            return 0
        left_height = self.getHeight(root.left)
        right_height = self.getHeight(root.right)
        self.max_distance = max(self.max_distance, left_height + right_height)
        return 1 + max(left_height, right_height)

总结

以上介绍了两种分别基于递归的算法，分别能够求解树上某个节点到树中所有节点的最远距离。第一种方法时间复杂度较高，但实现简单；第二种方法时间复杂度较低，但实现较为复杂。需要结合具体情况选择使用哪种算法。