如何使用步长偏差法计算平均值？

简而言之，统计意味着收集、整理、检查、解释并以可理解的方式呈现数据的过程，以使人们能够对其形成意见并在必要时采取必要的行动。例子：

• 老师收集学生的分数，按升序或降序排列，计算班级平均分，或找出不及格的学生人数，通知他们，让他们开始努力。
• 政府官员为人口普查收集数据，并将其与以前的记录进行比较，以了解人口增长是否得到控制。
• 分析一个国家特定宗教的信徒数量。

统计工具

最流行的统计工具如下：

• 算术平均值：也称为平均值，给定数据集的算术平均值是通过将数据中的数字相加并将如此获得的总和除以观测值的数量来计算的。
• 中位数：将一组给定统计数据的较高值和较低值分开的值称为中位数。
• 众数：在给定的一系列统计数据中出现频率最高的值称为众数。
• 标准偏差：表示统计系列的某些值与其平均值或中位数趋于变化或分散的程度的值称为标准偏差。
• 范围：这样的值描述了系列中最高值和最低值之间的差异。
• 相关性：这种有助于研究两个变量之间关系的统计工具称为相关性。

算术平均值

算术平均值也称为平均值，给定数据集的算术平均值是通过将数据中的数字相加并将如此获得的总和除以观察次数来计算的。它是最流行的集中趋势方法。

算术平均值的性质

• 统计系列中所有项目的算术平均值的偏差总和为零，即 ∑(x – X) = 0。
• 与算术平均值的平方偏差始终是最小的，即小于与其他值（如中位数、众数或其他工具）的此类偏差的总和。
• 用算术平均值替换统计系列中的所有项目对所述项目的总和没有影响。

使用直接法

The arithmetic mean is calculated using the following formula,

Sum of observation/Number of observations

Mean of the series = x̄ = Σx/ N.

上面讨论的公式属于计算算术平均值的直接方法。但是，如果由于数据集中的观测值较大，计算变得乏味，则可以使用其他方法来计算算术平均值，其中一种方法是步进偏差法。

步差法

每当数据值较大，计算繁琐时，就采用步长偏差法。应用阶跃偏差法计算算术平均值时使用以下步骤：

• 从数据集中选择一个观察值并将其标记为整个系列的假设平均值。在分组数据的情况下，不可能从类区间中选择一个观察值，因此首先需要计算区间中点的类标记并将一个标记为假设平均值。
• 下一步是通过从所有其他观察值中减去如此假设的平均值来找到与假设平均值 (A) 的偏差。 d = X - A。
• 接下来，我们应该根据上面获得的偏差计算步长偏差，方法是找到所有值（偏差）的公因数，用 c 表示，除以该因子，并将步长偏差标记为 d ₁ 。
• 将步长偏差与频率相乘，然后得到如此获得的数字的总和。
• 应用公式： $x̄=a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$ ，其中 Σd ₁是所有阶跃偏差乘以各自频率的总和，c 表示公因子。
• 如此获得的数字是给定数据集的算术平均值。

Thus the formula for the calculation of arithmetic mean by step deviation method is $x̄=a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

示例：使用步长偏差法计算以下数据集的算术平均值：

Marks	Number of Students
0 – 10	5
10 – 20	12
20 – 30	14
30 – 40	10
40 – 50	5

解决方案：

Mean = X̄ = $a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

= $25+\frac{4}{49}×10$

= 25 + 0.81

= 25.81

Hence, Arithmetic Mean of the given data set is 25.81

示例问题

问题 1. 使用步长偏差法计算均值：

Marks	f	m	d = m – A A = 25	d1 = d/ c c = 10	fd1
0 – 10	5	5	5 – 25 = −20	−2	−10
10 – 20	12	15	15 – 25 = −10	−1	−12
20 – 30	14	A = 25	25 – 25 = 0	0	0
30 – 40	10	35	35 – 25 = 10	1	10
40 – 50	8	45	45 – 25 = 20	2	16
	Σf = 49				Σfd1 = 4

解决方案：

Mean = X̄ = $a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

= $45+\frac{28}{40}×10$

= 45 + 7

= 52

Hence, Arithmetic Mean of the given data set is 52.

问题 2. 使用步长偏差法计算均值：

Marks	Number of students
10 – 20	5
20 – 30	3
30 – 40	4
40 – 50	7
50 – 60	2
60 – 70	6
70 – 80	13

解决方案：

Class Intervals	f	m	d = m – A A = −5	d1 = d/c c = 10	fd1
−40 to −30	10	−35	−30	−3	−30
−30 to −20	28	−25	−20	−2	−56
−20 to −10	30	−15	−10	−1	−30
−10 to 0	42	−5	0	0	0
0 to 10	65	5	10	1	65
10 to 20	180	15	20	2	180
20 to 30	10	25	30	3	30
	Σf = 365				Σfd1 = 159

Mean = X̄ = $a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

= $−5+\frac{159}{365}×10$

= −0.64

Hence arithmetic mean is −0.64

问题 3. 使用步长偏差法计算均值：

Marks	f	m	d = m – A A = 45	d1 = d/ c c = 10	fd1
10 – 20	5	15	−30	−3	−15
20 – 30	3	25	−20	−2	−6
30 – 40	4	35	−10	−1	−4
40 – 50	7	45	0	0	0
50 – 60	2	55	10	1	2
60 – 70	6	65	20	2	12
70 – 80	13	75	30	3	39
	Σf = 40				Σfd1 = 28

解决方案：

Wages	f	m	d = m – A A = 25	d1 = d/c c = 10	fd1
0 – 10	22	5	−20	−2	−44
10 – 20	38	15	−10	−1	−38
20 – 30	46	25	0	0	0
30 – 40	35	35	10	1	35
40 – 50	19	45	20	2	38
	Σf = 160				Σfd1 = −9

Mean = X̄ = $a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

= $25+\frac{−9}{160}×10$

= 24.44

Hence the arithmetic mean is 24.44 

问题 4.使用步长偏差法计算均值：

Class Intervals	Frequency
−40 to −30	10
−30 to −20	28
−20 to −10	30
−10 to 0	42
0 to 10	65
10 to 20	180
20 to 30	10

解决方案：

Age	f	m	d = m – A A = 50	d1 = d/c c = 20	fd1
0 – 20	4	10	−40	−2	−8
20 – 40	10	30	−20	−1	−10
40 – 60	15	50	0	0	0
60 – 80	20	70	20	1	20
80 – 100	11	90	40	2	22
	Σf = 60				Σfd1 =  24

Mean = X̄ = $a+\frac{Σd_1f}{Σf}×c$

= $50+\frac{24}{60}×20$

= 50 + 8

= 58

Hence arithmetic mean is 58.