对数定律

对数是为了得到一个特定数字而提高一个底数的指数或幂。例如，“a”是“m”对“x”底的对数，如果 x ^m = a，那么我们可以将其写为 m = log _x a。发明对数是为了加快计算速度，当我们使用对数将许多数字相乘时，时间会减少。现在，让我们讨论下面的对数定律。

对数定律

使用指数的基本规则推导出三个对数定律。法律是乘积法则、商法则、幂法则。让我们详细了解一下这些法律。

对数第一定律或乘积法则

设 a = x ⁿ和 b = x ^m ，其中底数 x 应大于零且 x 不等于零。即，x > 0 和 x ≠ 0。由此我们可以将它们写为

n = log _x a 和 m = log _x b ⇢ (1)

通过使用指数第一定律，我们知道 x ⁿ × x ^m = x ^{n + m} ⇢ (2)

现在我们将 a 和 b 相乘，得到：

ab = x ⁿ × x ^m

ab = x ^{n + m} （根据等式 2）

现在将对数应用于我们得到的上述等式，如下所示，

日志_x ab = n + m

根据等式 1，我们可以写为 log _x ab = log _x a + log _x b

因此，如果我们想将两个数相乘并求乘积的对数，则将这两个数的各个对数相加。这是对数第一定律/乘积法则。

log_xab = log_xa + log_xb

我们可以将此定律应用于两个以上的数字，即

log_xabc = log_xa + log_xb + log_xc.

对数第二定律或商法则

设 a = x ⁿ和 b = x ^m ，其中底数 x 应大于零且 x 不等于零。即，x > 0 和 x ≠ 0。由此我们可以将它们写为，

n = log _x a 和 m = log _x b ⇢ (1)

通过使用指数第一定律，我们知道 x ⁿ / x ^m = x ^{n – m} ⇢ (2)

现在我们将 a 和 b 相乘，得到：

a/b = x ⁿ / x ^m

a/b = x ^{n – m} ⇢ （来自等式 2）

现在将对数应用于我们得到的上述等式，如下所示，

日志_x (a/b) = n – m

根据等式 1，我们可以写为 log _x (a/b) = log _x a – log _x b

因此，如果我们想将两个数字相除并找到除法的对数，那么我们可以减去这两个数字的各个对数。这是对数第二定律/商法则。

log_x(a/b) = log_xa – log_xb

对数第三定律或幂律定律

令 a = x ⁿ ⇢ (i),

其中底数 x 应大于零且 x 不等于零。即，x > 0 和 x ≠ 0。由此我们可以将它们写为，

n = log _x a ⇢ (1)

如果我们用 'm' 的幂对等式（i）的两边进行提升，那么我们得到如下，

a ^m = (x ⁿ ) ^m = x ^nm

令 a ^m为单个量，然后将对数应用于上述等式，

日志_x a ^m = nm

log_xa^m = m.log_xa

这是对数第三定律。它指出，可以通过将数字的对数乘以该数来获得幂数的对数。

示例问题

问题 1：展开日志 21。

解决方案：

As we know that log_xab = log_xa + log_xb (From first law of logarithm)

So, log 21 = log (3 × 7) 

= log 3 + log 7

问题 2：展开日志 (125/64)。

解决方案：

As we know that log_x(a/b) = log_xa – log_xb (From second law of logarithm)

So, log (125/64) = log 125 – log 64

= log 5³ – log 4³

log_xa^m = m.log_xa (From third law of logarithm), we can write it as,

= 3 log 5 – 3 log 4

= 3(log 5 – log 4)

问题 3：将 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 写为单个对数。

解决方案：

3log 2 + 5 log3 – 5log 2

= log 2³ + log 3⁵ – log 2⁵

= log 8 + log 243 – log 32

= log(8 × 243) – log 32

= log 1944 – log 32

= log (1944/32)

问题 4：将 log 16 – log 2 写为单个对数。

解决方案：

log(16/2)

= log(8)

= log(2³)

= 3 log 2

问题 5：将 3 log 4 写为单个对数

解决方案：

From the power rule law, we can write it as,

= log 4³

= log 64

问题 6：将 2 log 3- 3 log 2 写为单个对数

解决方案：

log 3² – log 2³ 

= log 9 – log 8 

= log (9/8)

问题 7：将 log 243 + log 1 写为单个对数

解决方案：

log (243 × 1) 

= log 243