Proto Van Emde蟒蛇树|套装2 |建造

Van Emde Boas树支持在O(lglgN)时间内进行搜索，最小，最大值，后继，前任，插入和删除操作，这比任何相关数据结构(例如优先级队列，二进制搜索树等)都要快。Proto Van Emde Boas树是类似的原型类型数据结构，但它无法实现O(lglgN)的复杂性，我们将首先学习Proto Van Emde Boas树，以基本了解Van Emde Boas树的工作原理。 N是定义树的宇宙的大小。

注意： Proto Van Emde Boas数据结构的键必须在0到n的范围内定义(n是2 ^{2 k}形式的正整数)，并且在不允许重复的键时可以使用。

缩略语：

1. Proto-VEB是Proto-Van Emde Boas树的缩写。
2. 原始VEB( $\sqrt{u}$ )是Proto-VEB的缩写，包含u个密钥。

对Proto-VEB树的结构有基本了解：
Proto Van Emde蟒蛇树是递归定义的数据结构，随着我们进入树中，它缩小到sqrt大小。请参阅本文以了解其基本知识。

在Proto-VEB中，我们使用位数组表示密钥是否存在，如果存在，则放置1，否则放置0。

在此，特定群集的摘要包含群集中是否存在任何密钥，如果存在至少一个密钥，则该摘要在其他位置为1或0。簇是位阵列的片段。摘要也是位数组。见下图：

原始VEB树的构建：

下图表示Proto-VEB的基本结构：

递归定义的结构有两个主要部分：

1. 摘要：它是指向Proto-VEB结构的指针，该结构具有$\sqrt{u}$尺寸。
2. 集群：它是指向Proto-VEB结构的指针的数组$\sqrt{u}$尺寸。

首先，我们必须了解一些函数和关键字：

1. Universe size(u) ：Proto-VEB结构中的键数。
2. 高(x)：从第一张图片中，我们可以看到，如果我们想到达键的簇，则可以将其除以$\sqrt{u}$ 。例如，我们想知道键12的簇，然后可以将其除以$\sqrt{16}$是3，所以键12在^第三个簇中。

   高(x)=地板(x / $\sqrt{u}$ )

3. low(x)：从第一个图像中，我们可以看到，如果我们想要键在集群中的位置，我们可以应用模运算x％ $\sqrt{u}$ 。例如，如果要在集群中找到7的位置，则可以应用7％ $\sqrt{16}$ = 3，即^第二个簇中7的位置。

   低(x)= x％ $\sqrt{u}$ )

递归构造程序：

1. 基本情况：如果Universe大小为2，则它是一个基本大小，因此将不再有摘要数组，这意味着它为null，并且我们将仅存储2个键的位数组。
2. 我们将递归地将摘要指定为$\sqrt{u}$大小的Proto-VEB树和$\sqrt{u}$大小的Proto-VEB $\sqrt{u}$集群。

请参见下图中的u = 4 Proto-VEB结构：

这是代表算法的代码：

#include 
using namespace std;
  
class Proto_Van_Emde_Boas {
public:
    // Total number of keys
    int universe_size;
  
    // Summary
    Proto_Van_Emde_Boas* summary;
  
    // Clusters array of Proto-VEB pointers
    vector clusters;
  
    int root(int u)
    {
        return int(sqrt(u));
    }
  
    // Function to return cluster numbers
    // in which key is present
    int high(int x)
    {
        return x / root(universe_size);
    }
  
    // Function to return the position
    // of x in cluster
    int low(int x)
    {
        return x % root(universe_size);
    }
  
    // Function to return index form
    // cluster number and position
    int generate_index(int cluster, int position)
    {
        return cluster * root(universe_size) + position;
    }
  
    // Constructor
    Proto_Van_Emde_Boas(int size)
    {
        universe_size = size;
  
        // Base case
        if (size <= 2) {
  
            // Set summary to nullptr as there is no
            // more summary for size 2
            summary = nullptr;
  
            // Vector of two pointers
            // nullptr in starting
            clusters = vector(size, nullptr);
        }
        else {
  
            // Assiging Proto-VEB(sqrt(u)) to summary
            summary = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
  
            // Creating array of Proto-VEB Tree pointers of size sqrt(u)
            // first all nullptrs are going to assign
            clusters = vector(root(size), nullptr);
  
            // Assigning Proto-VEB(sqrt(u)) to all its clusters
            for (int i = 0; i < root(size); i++) {
                clusters[i] = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
            }
        }
    }
};
  
// Driver code
int main()
{
    Proto_Van_Emde_Boas pveb(4);
}