所有元素都是斐波那契数的最大子集

斐波那契数列是指，该数列中的第一个和第二个数分别为0和1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。 例如： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

题目要求给定一个数组，求其中所有元素都是斐波那契数的最大子集。这个问题可以通过动态规划来解决。

动态规划

我们可以用一个数组dp表示以i位置结尾的最长子集的长度，初始化为1。然后从左往右遍历数组nums，对于位置i，我们需要找到在i位置之前的所有斐波那契数中最近的一个数，然后计算出以这个数结尾的最长子集的长度，并将其加上1，更新dp[i]。遍历结束后，我们只需要在dp数组中找到最大的数字，及其对应的位置，最终这个位置及其之前的元素组成的子集就是所有元素都是斐波那契数的最大子集。

下面是该算法的代码实现：

def find_max_fibonacci_subset(nums):
    dp = [1] * len(nums)  # 初始化dp数组
    fibs = [0, 1]  # 斐波那契数列
    while fibs[-1] < nums[-1]:  # 生成斐波那契数列，直到最后一个元素大于nums中的最大元素
        fibs.append(fibs[-1] + fibs[-2])
    max_len = 0
    max_idx = -1
    for i in range(len(nums)):
        if nums[i] in fibs:
            idx = fibs.index(nums[i])  # 找到与nums[i]最近的斐波那契数的位置
            if idx == 0:
                dp[i] = 1
            else:
                dp[i] = dp[:i][idx-1] + 1  # 计算以idx位置结尾的最长子集的长度
        if dp[i] > max_len:
            max_len = dp[i]
            max_idx = i
    return nums[max_idx-max_len+1:max_idx+1]

复杂度分析

算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为数组nums的长度。由于每个位置都要遍历之前的位置，因此时间复杂度为O(n^2)。空间复杂度为O(n)，需要一个长度为n的dp数组。

示例

nums = [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
subset = find_max_fibonacci_subset(nums)
print(subset)  # [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

nums = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]
subset = find_max_fibonacci_subset(nums)
print(subset)  # [1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]

nums = [2, 4, 6, 8, 10, 12]
subset = find_max_fibonacci_subset(nums)
print(subset)  # []