AP的哪项是零？

当一组数字按某种顺序排列以显示出某种模式时，则称这些数字处于递进状态。它也被称为序列或系列。在数学中，主要有三种类型的级数——算术级数、几何级数和谐波级数。让我们详细了解算术级数，

算术级数

当一个数字序列的任何两个连续项之间的差始终相同时，则称该序列处于算术级数中。示例，序列：10、20、30、40 – 此序列在 AP 中，因为任何两个连续项之间的差值相同 (20 – 10 = 30 – 20 = 40 – 30 = 10)。序列：0、2、4、6。 该序列也在 AP 中，因为任何两个连续项之间的差异相同 (2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2)

AP的第一学期

AP 的第一项用 a 表示。它是序列中存在的第一个项。示例：序列：3、5、7、9、11- 此序列在 AP 中，任何两个连续项之间的差为 2。AP 的第一项为 3。序列：15、21、27、33-序列在 AP 中，因为任何两个连续项之间的差是 6。AP 的第一项是 15。

AP的共同点

在 AP 中，连续项之间的差异是一个常数。这个常数称为 AP 的公差。用 d 表示。第一项为 a 且共同差为 d 的 AP 可以写为 -

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d …

AP的^第N期

一个AP，其第一项为a，共同差为d。那么 AP 的^{第 n}项由下式给出 -

a _n = a + (n – 1) d

AP的哪一项是零？

给定一个 AP，我们必须计算其值为 0 的词条的位置。令 a 为 AP 的第一项， d 为 AP 的公差，

The n^th term of the AP is given by – 

a_n = a + ( n – 1 ) d

Here, a_n = 0 since it is given that the n^th term of the AP is zero. So,

0 = a + ( n – 1 ) d

a + ( n – 1 ) d = 0

( n – 1 ) d = -a

n – 1  = -a / d

 n = -a / d + 1

 n = 1 – a / d

其值为 0 的 AP 的项由下式给出： n = 1 – a / d

示例问题

问题`1：给定一个序列：7, 10, 13, 16, 19... 找出该序列是否在AP中。如果在 AP 中，则找到 AP 的第³²项。

解决方案 ：

The above sequence is in AP with a common difference of 3.

10 – 7 = 3 (2^nd term – 1^st term)

13 – 10 = 3 (3^rd term – 2^nd term)

16 – 13 = 3 (4^th term – 3^rd term)

19 – 16 = 3 (5^th term – 4^th term)

The first term (a) of the AP is 7 and the common difference( d ) of the AP is 3.

The formula for 32^th term of the AP is –

a_n = a + ( n – 1 ) d

a₃₂ = 7 + ( 32 – 1)* 3

= 7 + 31 * 3

= 7 + 93

= 100

问题 2：给定一个 AP：10、8、6、4……给定 AP 的哪一项是零？

解决方案 ：

Here, the first term ( a ) of the AP is 10 and the common difference (d) = 8 – 10 = -2.

Method 1 :

By using formula for the nth term of AP which is zero, we have-

=> n = 1 – 10 /-2

=> n = 1 – (-5)

=> n = 1 + 5 = 6

Method 2 : 

Here, a_n = 0 , d = -2 , a = 10. So,

By using the formula for the nth term of the AP – 

a_n = a + (n – 1) d

=> 0 = 10 + (n – 1)× (-2)

=> -10 = (n – 1)× (-2)

=> 5 = n – 1

=> n – 1 = 5

=> n = 5 + 1 = 6

问题 3：给定一个 AP：27、24、21、18…….. 给定 AP 的哪一项是零？

解决方案 ：

The first term of the AP (a) = 27 and the common difference (d) is 24 – 27 = -3

We have, a_n = 0

a_n = a + (n – 1) d

=> 0 = 27 + (n – 1)×(-3)

=> -27 = (n – 1)× (-3)

=> n – 1 = 9

=> n = 9 + 1 = 10