AP中n项之和的公式是什么？

进程基本上是遵循特定逻辑和可预测模式的术语列表（通常是数字）。在每一种进展中，这两个术语之间都有一定的关系。级数的可预测性有助于形成该级数的通用公式，公式包括找到级数的第 n 项，找到级数的总和等。已知的级数主要分为三种类型，

进展类型

在数学中，数的级数主要可以分为三种具体类型：

1. 算术级数
2. 几何级数
3. 谐波进行

让我们详细了解算术级数，

算术级数

算术级数基本上是一个数字序列，其存在方式使得任何两个连续数字之间的差异都是一个常数值或数量，这个差异被表示为“d”。 AP 中的第一项表示为“a”，最后一项（对于有限级数）表示为“n”。例如，考虑偶数自然数的序列 2, 4, 6, 8, 10,……。如果我们考虑任何两个数字 (8-6) 之间的差是 2。算术级数的其他几个例子是奇数自然数列，自然数列。

算术级数的广义表示

第一项表示为“a”，共同差表示为“d”，因此，下一项应该是a+d，下一项应该是a+d+d，基于此，a可以形成表示 AP 的通用方式。算术级数可以表示为，

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………。 a+ (n-1)d

在上述表达式中，“a”代表级数的第一项，“d”代表共同差

级数的最后一项“ _an ”表示为，

a _n =a+(n-1)d

AP的n项之和的公式是什么？

任何级数的总和基本上是其所有项的总和，对于AP的n项形成一个通用公式如果第一项表示为“a”，则公差表示为“d”，则数存在的术语表示为“n”，然后公式给出为，

$S_n= \frac{n}{2}[2a+ (n-1)d]$

要么

算术级数的 n 项之和也可以由S _n给出，

S _n = N*[第一项+最后一项]/2

AP中n项之和的证明

Lets consider the Generalized representation of Arithmetic Progression, the sum of all the terms in the above sequence is given as,

a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, ………. a+ (n-1)d

S_n= (a+ a+ d+ a+ 2d+ a+ 3d+ a+ 4d+….. a+ (n-1)d) ⇢ (a)

Now lets rewrite the the above equation in reverse order we get the equation as,

S_n= (a+ (n-1)d + a+ (n-2)d+ a+ (n-3)d+ ….. +a) ⇢ (b)

In the next step, add the equation (a) with equation (b), after addition, the result is as follows,

2S_n= (2a+ (n-1)d + 2a+ (n-1)d+…….. + 2a+ (n-1)d) (n terms)

2S_n= [2a + (n-1)d] × d

$S_n= \frac{n}{2}[2a+ (n-1)d]$

问题1：考虑前5个偶数自然数的序列AP=2,4,6,8,10。求AP之和

解决方案：

From the above equation, it is known that, a =2, d= 4- 2= 2, and a_n=10

Using the above equation of sum of n terms in a AP and substituting the values,

S_n= 5/2 [2× 2+ (5-1) × 2]

S_n= 30

So, The sum of the of first 5 even natural numbers is 30

问题 2：将前 5 个奇数自然数视为 AP 求级数之和。

解决方案：

The first 5 odd Natural numbers are 1, 3, 5, 7, 9

Here, the first term, a= 1, the common difference, d= 3- 1= 2, the number of terms in the series, n=5

$S_n= \frac{n}{2}[2a+ (n-1)d]\\S_n= \frac{5}{2}[2(1)+(5-1)2]\\S_n= \frac{5}{2}[10]\\S_n=25$

Hence, the sum of the series is 25.