从平面中的N条线中找到最小的y坐标

在平面上有N条线，我们需要从这N条线中找到最小的y坐标，也就是离x轴最近的线。本文将介绍如何实现这个功能。

问题描述

给定N条直线的坐标点，我们需要找到离x轴最近的一条直线，并返回最小的y坐标。

解决方案

算法原理

该问题可以通过扫描线算法来解决。

扫描线算法

1. 将所有线段端点的y坐标值存入数组Y中，并对Y排序。

2. 扫描每一个Y值，将其作为端点，建立一条扫描线，记录当前扫描线与所有线段的相交情况。

3. 在当前扫描线上寻找最小的y坐标值。

如何记录相交情况

为了判断当前扫描线与所有线段的相交情况，我们需要使用一个数据结构进行存储和操作。

线段树

线段树是一种数据结构，用于处理区间查询操作。在这个问题中，我们可以使用线段树来记录当前扫描线与所有线段的相交情况。

例如，使用线段树存储线段[1, 3]和[2, 4]，可以将线段树本身建立在区间[1, 4]上，每个节点存储该区间的线段信息。

如何查询线段树

查询线段树时，从根节点开始，将查询区间逐步缩小，直到查询区间与节点区间完全相同或不相交。在这个问题中，我们可以使用线段树算法简单的查找当前扫描线与所有线段的相交情况，并返回扫描线上最小的y坐标值。

代码实现

class SegmentTree:
    def __init__(self, n):
        self.data = [(0, n, None)] * (4 * n)
        
    def update(self, i, l, r, k, v):
        if r < k or k < l:
            return
        if l == r == k:
            self.data[i] = v
            return
        mid = (l + r) // 2
        self.update(i * 2, l, mid, k, v)
        self.update(i * 2 + 1, mid + 1, r, k, v)
        self.data[i] = min(self.data[i * 2], self.data[i * 2 + 1])
        
    def query(self, i, l, r, ql, qr):
        if qr < l or r < ql:
            return (float('inf'), None)
        if ql <= l and r <= qr:
            return self.data[i]
        mid = (l + r) // 2
        return min(self.query(i * 2, l, mid, ql, qr), self.query(i * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr))

def get_min_y(lines):
    ys = set()
    for x1, y1, x2, y2 in lines:
        ys.add(y1)
        ys.add(y2)
    ys = list(ys)
    ys.sort()
    tree = SegmentTree(len(ys))
    segments = []
    for x1, y1, x2, y2 in lines:
        if y1 > y2:
            x1, x2 = x2, x1
            y1, y2 = y2, y1
        segments.append((y1, x1, x2))
        tree.update(1, 0, len(ys) - 1, ys.index(y1), (x1, y1, x2))
    min_y = float('inf')
    for i in range(len(ys) - 1):
        segment = tree.query(1, 0, len(ys) - 1, i, i)
        while segments and segments[0][0] == ys[i]:
            _, x1, x2 = segments.pop(0)
            tree.update(1, 0, len(ys) - 1, ys.index(ys[i]), (x1, ys[i], x2))
        if segment != (float('inf'), None):
            min_y = min(min_y, segment[1])
    return min_y

示例

输入：

[(2, 5, 8, 2), (1, 9, 5, 3), (7, 8, 9, 1), (2, 3, 6, 7), (3, 6, 7, 3), (3, 4, 6, 2)]

输出：

2

复杂度分析

• 时间复杂度：O(NlogN)，其中N是线段数。
• 空间复杂度：O(NlogN)，其中N是线段数。

总结

本文介绍了如何从平面中的N条线中找到最小的y坐标，通过扫描线算法和线段树的运用实现了该功能。该算法时间复杂度为O(NlogN)，可以解决大多数场景下的问题。