用给定的坐标集找到矩形的最小面积

在计算机视觉和图像处理中，有许多应用需要在给定的坐标集上找到矩形的最小面积，例如目标检测中的边界框设计、卡片识别等。下面我们将介绍几种方法，帮助您解决这个问题。

方法一：暴力枚举法

在给定的坐标集中，我们可以通过三重循环枚举每一个点对 $(P_i, P_j, P_k)$，然后计算由这三个点所组成的矩形的面积。不难发现，时间复杂度为 $O(n^3)$，因此只适用于坐标集较小的情况，时间复杂度为 $O(n^2)$ 的优化方法是枚举对角线上的两个点 $(P_i, P_j)$，然后检查剩余的点是否在这个矩形内，该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

方法二：旋转卡壳法

旋转卡壳法可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这个问题，它的基本思想是通过两条垂线（$l_1$ 和 $l_2$）和两条平行线（$l_3$ 和 $l_4$）来跟踪矩形的四个顶点 $(P_1, P_2, P_3, P_4)$。具体操作为：

1. 首先找到坐标集中横坐标最小和最大的两个点 $P_{min}$ 和 $P_{max}$，然后将它们连接起来作为第一条垂线 $l_1$。
2. 找到与第一条垂线距离最远的点 $P_{i1}$，并以它为原点建立极坐标系，然后旋转极角，直到找到与 $P_{i1}$ 对称的点 $P_{i2}$。
3. 将 $P_{i1}$ 和 $P_{i2}$ 之间的所有点投影到第二条垂线 $l_2$ 上，然后找到在 $l_2$ 上距离 $P_{i1}$ 或 $P_{i2}$ 最远的点，它们所构成的线段就是矩形的一条边。
4. 以这条边的法线为方向，找到距离 $l_2$ 最远的点，它们所构成的线段就是另一条边。
5. 将两条线段之间的所有点投影到 $l_3$ 上，找到距离它们最远的点，就是第三个顶点 $P_3$。同理，找到第四个顶点 $P_4$。

旋转卡壳法的实现比较复杂，需要考虑到各种边缘情况，但是它在计算复杂多边形的最小外包矩形等问题中也有广泛的应用，具有很高的通用性。

方法三：最小矩形法

最小矩形法是基于凸包计算的，首先需要求出坐标集的凸包，然后枚举凸包上的每一对相邻点 $(P_i, P_j)$，并以它们为矩形的一条边。那么问题转化为找到可以成为矩形边的第三个点 $P_k$ 和第四个点 $P_l$，使得由 $(P_i, P_j, P_k, P_l)$ 组成的矩形面积最小。

具体操作为：

1. 枚举凸包上的每一对相邻点 $(P_i, P_j)$，并以它们为矩形的一条边。
2. 对于每条边，假设它的法向量为 $\vec{n}$，然后找到使 $\vec{n}$ 与另一个凸包的法向量 $\vec{n}'$ 垂直的点对 $(P_k, P_l)$。
3. 计算由 $(P_i, P_j, P_k, P_l)$ 组成的矩形的面积，并更新最小值。

最小矩形法比较简单，但是它的时间复杂度为 $O(n^3)$，当坐标集比较大时效率较低。

在实际应用中，我们可以根据情况选择不同的算法，以达到更好的性能和效果。