如上一章所述，到红移z处到源的角直径距离由-给出

$$ d_ \ wedge(z_ {gal})= \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H(z)} dz $ $

$$ d_ \ wedge(z_ {gal})= \ frac {r_c} {1 + z_ {gal}} $$

其中$ r_c $是移动距离。

光度距离取决于宇宙学，它定义为观察到的光通量f与物体之间的距离。

如果已知远处物体的固有光度$ d_L $，我们可以通过测量由-确定的通量$ f $来计算其光度

$$ d_L(z)= \ sqrt {\ frac {L} {4 \ pi f}} $$

光子能量发生红移。

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$

其中观察到$ \ lambda_ {obs}，\ lambda_ {emi} $，发射波长和$ a_0，a_e $是相应的比例因子。

$$ \ frac {\ Delta t_ {obs}} {\ Delta t_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$

其中，将$ \ Delta_t {obs} $视为光子时间间隔，而$ \ Delta_t {emi} $是其发射时间间隔。

$$ L_ {emi} = \ frac {nhv_ {emi}} {\ Delta t_ {emi}} $$

$$ L_ {obs} = \ frac {nhv_ {obs}} {\ Delta t_ {obs}} $$

$ \ Delta t_ {obs} $比$ \ Delta t_ {emi} $花费更多的时间，因为检测器应该接收所有光子。

$$ L_ {obs} = L_ {emi} \ left(\ frac {a_0} {a_e} \ right)^ 2 $$

$$ L_ {obs}

$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi d_L ^ 2} $$

对于非扩展宇宙，光度距离与共同移动距离相同。

$$ d_L = r_c $$

$$ \ Rightarrow f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi r_c ^ 2} $$

$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {emi}} {4 \ pi r_c ^ 2} \ left(\ frac {a_e} {a_0} \ right)^ 2 $$

$$ \ Rightarrow d_L = r_c \ left(\ frac {a_0} {a_e} \ right)$$

我们发现光度距离$ d_L $用于计算发射对象$ L_ {emi} $的光度-

• 解释-如果我们知道任何星系的红移z ，我们可以找出$ d_A $，然后可以计算出$ r_c $。这用于找出$ d_L $。

• 如果$ d_L！ = r_c(a_0 / a_e)$，那么我们就无法从$ f_ {obs} $中找到Lemi。

光度距离$ d_L $和角直径距离$ d_A。$之间的关系

我们知道-

$$ d_A(z_ {gal})= \ frac {d_L} {1 + z_ {gal}} \ left(\ frac {a_0} {a_e} \ right)$$

$$ d_L =(1 + z_ {gal})d_A(z_ {gal})\ left(\ frac {a_0} {a_e} \ right)$$

发射光子时的比例因子为-

$$ a_e = \ frac {1} {(1 + z_ {gal})} $$

当前宇宙的比例因子是-

$$ a_0 = 1 $$

$$ d_L =(1 + z_ {gal})^ 2d_ \ wedge(z_ {gal})$$

选择$ d_L $或$ d_A $中的哪一个?

• 对于已知大小和红移以计算其大小的星系，则使用$ d_A $。

• 如果存在一个给定大小的星系，则使用$ d_L $找出它的大小。

示例-如果给出两个具有相同红移(z = 1)的星系，并且它们在天空平面中相隔2.3弧秒，那么这两个星系之间的最大物理距离是多少?

为此，如下使用$ d_A $-

$$ d_A(z_ {gal})= \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H(z)} dz $$

其中z = 1根据星系的宇宙学参数替换H(z)。

要记住的要点

• 光度距离取决于宇宙学。

• 如果已知远处物体的固有光度$ d_L $，我们可以通过测量通量f来计算其光度。

• 对于非扩展宇宙，光度距离与共同移动距离相同。

• 光度距离始终大于角直径距离。