在本章中，我们将讨论密度和哈勃参数。

哈勃参数

哈勃参数定义如下-

$$ H(t)\ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

用来衡量比例因子变化的速度。更一般地，比例因子的演化由弗里德曼方程式确定。

$$ H ^ 2(t)\ equiv \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho-\ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

∧是宇宙常数。

对于平坦的宇宙，k = 0，因此弗里德曼方程变为-

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

对于一个以物质为主的宇宙，密度变化为-

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m，0}} = \ left(\ frac {a_0} {a} \ right)^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m，0} a ^ {- 3} $$

并且，对于以辐射为主的宇宙，密度随-

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad，0}} = \ left(\ frac {a_0} {a} \ right)^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad， 0} a ^ {-4} $$

目前，我们生活在一个以物质为主的宇宙中。因此，考虑$ \ rho≡\ rho_m $，我们得到-

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m，0} a ^ {-3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

宇宙常数和暗能量密度的关系如下-

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

由此，我们得到-

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m，0} a ^ {-3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

另外，临界密度和哈勃常数之间的关系如下：

$$ \ rho_ {c，0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c， 0}} $$

由此，我们得到-

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c，0}} \ rho_ {m，0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c，0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m，0} a ^ {-3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge，0 } $$

$$(\ dot {a})^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m，0} a ^ {-1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge，0} a ^ 2 $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right)^ 2 = \ Omega_ {m，0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge，0} a ^ 2 $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right)^ 2 = \ Omega_ {m，0}(1 + z)+ \ Omega _ {\ wedge，0} \ frac {1} { (1 + z)^ 2} $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right)^ 2(1 + z)^ 2 = \ Omega_ {m，0}(1 + z)^ 3 + \ Omega _ {\ wedge ，0} $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right)^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m，0}(1 + z)^ 3 + \ Omega_ {\ wedge，0} $$

$$ \ left(\ frac {H(z)} {H_0} \ right)^ 2 = \ Omega_ {m，0}(1 + z)^ 3 + \ Omega _ {\ wedge，0} $$

在此，$ H(z)$是依赖于红移的哈勃参数。可以对其进行修改以包括辐射密度参数$ \ Omega_ {rad} $和曲率密度参数$ \ Omega_k $。修改后的公式是-

$$ \ left(\ frac {H(z)} {H_0} \ right)^ 2 = \ Omega_ {m，0}(1 + z)^ 3 + \ Omega_ {rad，0}(1 + z)^ 4+ \ Omega_ {k，0}(1 + z)^ 2 + \ Omega _ {\ wedge，0} $$

$$ Or，\：\ left(\ frac {H(z)} {H_0} \ right)^ 2 = E(z)$$

$$ Or，\：H(z)= H_0E(z)^ {\ frac {1} {2}} $$

哪里，

$$ E(z)\ equiv \ Omega_ {m，0}(1 + z)^ 3 + \ Omega_ {rad，0}(1 + z)^ 4 + \ Omega_ {k，0}(1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge，0} $$

这表明哈勃参数随时间变化。

对于爱因斯坦德西特宇宙，$ \ Omega_m = 1，\ Omega_ \楔= 0，K = 0 $。

将这些值放入，我们得到-

$$ H(z)= H_0(1 + z)^ {\ frac {3} {2}} $$

该图显示了爱因斯坦德西特宇宙的哈勃参数随时间的变化。

密度参数

密度参数$ \ Omega $定义为实际(或观察到的)密度ρ与临界密度$ \ rho_c $的比率。对于任何数量的$ x $对应的密度参数，$ \ Omega_x $可以数学表示为-

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

对于考虑中的不同数量，我们可以定义以下密度参数。

这些符号具有其通常的含义。

要记住的要点

• 比例因子的演化由Friedmann方程确定。

• H(z)是依赖于红移的哈勃参数。

• 哈勃参数随时间变化。

• 密度参数定义为实际(或观察到的)密度与临界密度之比。