在本章中，我们将了解什么是角直径距离及其在宇宙学中的帮助。

对于当前的宇宙-

• $ \ Omega_ {m，0} \：= \：0.3 $

• $ \ Omega _ {\ wedge，0} \：= \：0.69 $

• $ \ Omega_ {rad，0} \：= \：0.01 $

• $ \ Omega_ {k，0} \：= \：0 $

到目前为止，我们已经研究了两种距离-

• 适当的距离(lp) -光子从光源到我们的距离，即瞬时距离。

• 共同移动距离(lc) -在不扩展的空间中物体之间的距离，即在共同移动参考系中的距离。

距离与红移的关系

考虑一个在时间t ₁发射光子的星系，观察者在t ₀探测到它。我们可以将距星系的正确距离写为-

$$ l_p = \ int_ {t_1} ^ {t_0} cdt $$

让银河系的红移为z ，

$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} =-\ frac {1} {a ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} =-\ frac {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} {a} \压裂{1} {a} $$

$$ \因此\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} =-\ frac {H(z)} {a} $$

现在，在任何时间t ，星系的共同移动距离将是-

$$ l_c = \ frac {l_p} {a(t)} $$

$$ l_c = \ int_ {t_1} ^ {t_0} \ frac {cdt} {a(t)} $$

就z而言

$$ l_c = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {cdz} {H(z)} $$

有两种找到距离的方法，如下所示-

通量-光度关系

$$ F = \ frac {L} {4 \ pi d ^ 2} $$

d是在源头的距离。

源的角直径距离

如果我们知道光源的大小，它的角度宽度将告诉我们它与观察者的距离。

$$ \ theta = \ frac {D} {l} $$

其中l是光源的角直径距离。

• θ是光源的角度大小。

• D是源的大小。

考虑一个大小为D且角大小为dθ的星系。

我们知道，

$$ d \ theta = \ frac {D} {d_A} $$

$$ \因此D ^ 2 = a(t)^ 2(r ^ 2 d \ theta ^ 2)\ quad \因为dr ^ 2 = 0; \：d \ phi ^ 2 \约0 $$

$$ \ Rightarrow D = a(t)rd \ theta $$

将r更改为r _c ，即星系的共同移动距离，我们有-

$$ d \ theta = \ frac {D} {r_ca(t)} $$

在这里，如果我们选择t = t ₀ ，我们最终将测量到银河系的当前距离。但是D是在发射光子时测量的。因此，通过使用t = t ₀ ，我们到银河系的距离更大，因此它的大小被低估了。因此，我们应该使用时间t ₁ 。

$$ \ there d \ theta = \ frac {D} {r_ca(t_1)} $$

与之前的结果进行比较，我们得到-

$$ d_ \ wedge = a(t_1)r_c $$

$$ r_c = l_c = \ frac {d_ \ wedge} {a(t_1)} = d_ \ wedge(1 + z_1)\ quad \因为1 + z_1 = \ frac {1} {a(t_1)} $$

因此，

$$ d_ \ wedge = \ frac {c} {1 + z_1} \ int_ {0} ^ {z_1} \ frac {dz} {H(z)} $$

d _A是对象的角直径距离。

要记住的要点

• 如果我们知道光源的大小，它的角度宽度将告诉我们它与观察者的距离。

• 正确的距离是光子从光源到我们的距离。

• 共同移动距离是指空间中不会扩展的对象之间的距离。