在本章中，我们将讨论与辐射占优宇宙有关的Friedmann方程的解。首先，我们将物质的能量密度与辐射的能量密度进行比较。这将使我们能够了解我们的宇宙是物质主导还是辐射主导。

辐射能量密度

当前宇宙中普遍存在的辐射很少归因于恒星源，但这主要归因于残余的CMB(宇宙微波背景)。

辐射的能量密度$ \ epsilon _ {\ gamma，0} $可以表示如下：

$$ \ epsilon _ {\ gamma，0} = aT_0 ^ 4 $$

在此， a是具有以下表达式的辐射常数：$(8 \ pi ^ 5k_B ^ 4)/(15h ^ 3c ^ 2)$等于a = 7.5657×10 ^-15 erg \：cm ^-3 K ^-4 。我们在这里考虑的温度T0对应于CMB的黑体温度。

用结果代替，

$$ \ epsilon _ {\ gamma，0} = aT_0 ^ 4 = 4 \乘以10 ^ {-13} erg \：cm ^ {-3} $$

物质的能量密度

在下面的计算中，我们假设使用平坦的宇宙且K =0。我们将物质的能量密度视为$ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $。我们考虑以下内容-

$$ \ rho_ {m，0} c ^ 2 = 0.3 \ rho_ {c，0} c ^ 2 = 0.3 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$

$$ \ rho_ {m，0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {-8} erg \：cm ^ {-3} $$

$$ \ rho_ {b，0} c ^ 2 = 0.03 \ rho_ {c，0} c ^ 2 = 0.03 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$

$$ \ rho_ {b，0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {-9} erg \：cm ^ {-3} $$

因此，通过以上计算，我们看到我们生活在一个以物质为主的宇宙中。 CMB非常冷的事实可以证明这一点。回顾过去，我们会发现CMB的温度越来越高，并且可以得出结论，宇宙可能是由辐射主导的时代。

密度和比例因子的变化

流体方程式告诉我们-

$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left(\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right)= 0 $$

如果我们考虑一个尘土飞扬的宇宙，我们将得到P =0。撇开先前的结果，我们认为宇宙是辐射主导的。

$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left(\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right)= 0 $$

使用$ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $的压力关系式，我们有-

$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left(\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$

$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a}(\ rho_ {rad})= 0 $$

经过进一步简化，我们有

$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}(\ rho_ {rad} a ^ 4)= 0 $$

$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \：常量$$

$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$

上面的结果显示了$ \ rho $的a的倒数^第4^次幂变化。

从物理上讲，这可以理解为$ a ^ {-3} $来自音量变化的过程。剩余的$ a ^ {-1} $可以看作是光子由于宇宙空间扩展而损失的能量(宇宙红移1 + z = a ^-1 )。

下图显示了物质和辐射密度随时间的变化。

对于平坦的，辐射为主的宇宙，我们将具有以下弗里德曼方程-

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$

在简化并将解决方案应用于微分方程时，我们有-

$$(\ dot {a})^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow a(t)\ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$

因此，我们有-

$$ a(t)= a_0 \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {\ frac {1} {2}} $$

从上面的方程式中，我们看到比例因子的增加率小于尘土飞扬的宇宙。

要记住的要点

• 当前宇宙中普遍存在的辐射很少归因于恒星源。

• 对于尘土飞扬的宇宙，压力为零。

• CMB很冷。