在本章中，我们将讨论与物质支配的宇宙有关的Friedmann方程的解。在宇宙学中，因为我们正在大范围地看到一切事物，包括太阳系，星系，所以所有事物都恰好像尘埃粒子(这就是我们用眼睛看到的)，因此我们可以称其为尘土宇宙或仅物质宇宙。

在流体方程中，

$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)\ rho -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right )\ left(\ frac {P} {c ^ 2} \ right)$$

我们可以看到有一个压力项。对于尘土飞扬的宇宙， P = 0 ，因为物质的能量密度将大于辐射压力，并且物质不会以相对论的速度运动。

因此，流体方程将变为

$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)\ rho $$

$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}(a ^ 3 \ rho)= 0 $$

$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \：常量$$

$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$

该方程式中没有直觉，因为密度应按$ a ^ {-3} $缩放，因为体积按$ a ^ 3 $的比例增加。

从最后的关系，我们可以说，

$$ \ frac {\ rho(t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a(t)} \ right] ^ 3 $$

对于本宇宙，一，这是等于₀应为1。所以，

$$ \ rho(t)= \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$

在一个以物质为主的平面宇宙中，k =0。因此，弗里德曼方程将变为

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$

$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$

通过解决这个方程，我们将得到，

$$ a \ propto t ^ {2/3} $$

$$ \ frac {a(t)} {a_0} = \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

$$ a(t)= \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

这意味着宇宙将以不断下降的速度继续增长。下图显示了尘土飞扬的宇宙的展开。

ρ如何随时间变化?

看一下下面的等式-

$$ \ frac {\ rho(t)} {\ rho_0} = \ left(\ frac {t_0} {t} \ right)^ 2 $$

我们知道比例因子随时间变化为$ t ^ {2/3} $。所以，

$$ a(t)= \ left(\ frac {t} {t_0} \ right)^ {2/3} $$

区分它，我们将得到，

$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left(\ frac {t ^ {-1/3}} {t_0} \ right)$$

我们知道哈勃常数是

$$ H(t)= \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$

这是爱因斯坦-德西特宇宙的方程式。如果我们要计算宇宙的当前年龄，

$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$

在为当前宇宙加上$ H_0 $的值之后，我们将得到宇宙年龄的值为9 Gyrs 。在我们自己的银河系中有许多球状星团，它们的年龄都比这个年龄要大。

那就是尘土飞扬的宇宙。现在，如果您假设宇宙是由辐射而不是物质控制的，那么辐射能量密度将变为$ a ^ {-4} $而不是$ a ^ {-3} $。我们将在下一章中看到更多内容。

要记住的要点

• 在宇宙学中，一切都碰巧像尘埃粒子，因此，我们称其为尘土宇宙或仅物质宇宙。

• 如果我们假设宇宙是由辐射而不是物质控制的，那么辐射能量密度将变为$ a ^ {-4} $而不是$ a ^ {-3} $。