所需的最小去除量使得剩余阵列模 M 的总和为 X

在计算机科学与数学中，经常会用到对数组按模进行分组。给定一个长度为 n 的数组 A，以及一个正整数 M，要求把数组 A 中的数按照 mod M 的余数分类，得到 M 个集合，分别为 C[0]，C[1]，...，C[M-1]，其中 C[i] 中的元素都满足 mod M 等于 i。

现在给定一个目标数值 X，要求从每个集合中都选择至多一个元素，使得这些元素的和 mod M 等于 X，并且要求剩下的元素的个数尽量地少。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设 dp[i][j] 表示从前 i 个数中选择若干个数的和对 M 取余得到 j 的最小剩余数。

则状态转移方程为：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][(j-a[i]%m+m)%m]+1)

其中 a[i] 表示 A 数组中第 i 个数的值。

我们需要用一个二维数组来记录状态，然后迭代填充数组中的值。最终答案就是 dp[n][X]。

以下是一个 python 的实现代码：

def min_remove_to_get_sum_mod_m_equal_x(a, m, x):
    n = len(a)
    INF = n
    dp = [[INF]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(m+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j-a[i-1]%m >= 0: # Deal with negative remainders
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][(j-a[i-1]%m+m)%m]+1)
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j]+1)
    return dp[n][x]

以上代码返回的是最小去除量，如果要得到被保留下来的元素，可以根据 dp 数组进行回溯。

参考资料：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem
• https://yewenxing.com/posts/modular-arithmetic-and-dynamic-programming.html