阵列中的三角形总和

阵列中的三角形总和是指在一个由数值组成的阵列中，可以构成三角形的组合数的总和。

实现思路

一种直接的方法是暴力枚举所有可能的三角形组合，判断能否构成三角形，再求和。这种方法时间复杂度较高，为$O(N^3)$，N为阵列长度。在实际应用中，往往需要更加高效的算法。

一种常用的优化方法是通过观察规律，发现可以利用一些数学公式简化计算。这里介绍一种类似于前缀和的思路。

1、对阵列从左往右遍历，对每个位置记录该位置左侧的数字个数，保存在数组leftCnt中。

2、对阵列从右往左遍历，对每个位置记录该位置右侧的数字个数，保存在数组rightCnt中。

3、对于位置i，枚举所有可能的三角形组合（即以i为顶点的三角形）。设left为i左侧的数字个数，right为i右侧的数字个数，则以i为顶点的三角形个数为left * right。

4、将所有以i为顶点的三角形的个数累加得到总数。

5、遍历阵列中的所有位置，将所有可能的三角形的个数相加得到最终结果。

该算法的时间复杂度为$O(N^2)$，较暴力算法有较大的优化。

代码示例

以下是实现该算法的Python代码：

def triangleSum(arr):
    n = len(arr)
    leftCnt = [0] * n
    rightCnt = [0] * n

    # 计算leftCnt数组
    for i in range(1, n):
        cnt = 0
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                cnt += 1
        leftCnt[i] = cnt

    # 计算rightCnt数组
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        cnt = 0
        for j in range(i + 1, n):
            if arr[j] < arr[i]:
                cnt += 1
        rightCnt[i] = cnt

    # 计算所有可能的三角形个数
    res = 0
    for i in range(n):
        left = leftCnt[i]
        right = rightCnt[i]
        res += left * right

    return res

可以用以下方法测试程序的正确性：

assert triangleSum([2,4,3,5,1]) == 12
assert triangleSum([1,2,3,4,5]) == 0
assert triangleSum([5,4,3,2,1]) == 0