最大字符串分区

最大字符串分区是一种常见的算法问题，其基本思想是将一个字符串划分成多个不相交的子字符串，使得每个子字符串都是回文串，并且划分的子串数最小。

解法

最直观的解法是使用动态规划，设 $f(i)$ 表示以第 $i$ 个字符为结尾的子串的最小分区数。则有：

$$ f(i) = \min_{j=0}^{i-1} { f(j) + 1 } \quad (j < i \text{ 且 } s_j+1 \sim i \text{ 是回文串}) $$

其中，回文串的判断可以使用回文串判断算法，如中心扩展算法、Manacher 算法等。

代码实现

下面是最大字符串分区问题的 Python 实现：

def minCut(s: str) -> int:
    n = len(s)
    f, p = [i for i in range(n)], [False] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i+1):
            if s[i] == s[j] and (i - j <= 1 or p[j+1]):
                p[j] = True
                if j == 0:
                    f[i] = 0
                else:
                    f[i] = min(f[i], f[j-1] + 1)
            else:
                p[j] = False
    return f[n-1]

其中，变量 f 记录当前位置为止的最小分区数，变量 p 表示当前位置到结尾的子串是否为回文串。使用双重循环遍历所有子串，当发现子串为回文串时，更新 f 值。

代码使用了中心扩展算法进行回文串判断。复杂度为 $O(n^2)$。