最大平衡字符串分区

最大平衡字符串分区是一种字符串划分的方法，即将给定字符串划分为若干个子串，每个子串都是平衡字符串，且划分得到的子串数量最多。

什么是平衡字符串

平衡字符串是指在一个字符串中，左括号和右括号的数量相等且顺序也相同的字符串。例如，"()"、"(())"、"()()"都是平衡字符串，而"("、")()"、"((()"都不是平衡字符串。

解决方案

算法

一种简单的解决方案是使用贪心算法，从左到右遍历字符串，并在遇到平衡字符串时执行一次划分。具体实现时，我们可以使用栈来维护平衡性，具体步骤如下：

• 我们维护一个栈，用于记录左括号的位置。
• 从左到右遍历字符串，如果遇到左括号，则将其下标加入栈中；如果遇到右括号，则弹出栈顶元素，并将当前位置与弹出元素之间的子串作为一个平衡字符串的一部分。如果栈为空，则当前位置之前的子串不是一个平衡字符串。
• 遍历完成后，如果栈仍不为空，则将每个右括号的位置之前的子串作为一个平衡字符串的一部分。

这个算法的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是字符串的长度。

下面是使用 Python 实现的代码：

def max_balanced_partition(s: str) -> List[str]:
    result = []
    stack = []
    start = 0
    for i, c in enumerate(s):
        if c == '(':
            stack.append(i)
        else:
            if not stack:
                result.append(s[start:i])
                start = i + 1
            else:
                stack.pop()
                if not stack:
                    result.append(s[start:i+1])
    if start < len(s):
        result.append(s[start:])
    return result

动态规划

另一种解决方案是使用动态规划。我们可以定义一个数组 $f[i]$，表示索引 $i$ 到字符串末尾的最大平衡子串数量。然后从后往前遍历字符串，更新 $f$ 数组。具体实现时，我们可以通过 $f[i+1]$ 和 $f[j]$（其中 $j>i$）来计算 $f[i]$，初始时 $f[n]=1$（其中 $n$ 是字符串的长度）。具体步骤如下：

• 从后往前遍历字符串，初始化 $f[n]=1$。
• 对于每个位置 $i$，从 $i+1$ 到 $n$ 遍历字符串，如果从 $i$ 到当前位置的子串是一个平衡字符串，则更新 $f[i]$，即 $f[i]=\max{f[j]+1}$。
• 遍历完成后，$f[0]$ 就是所求的最大平衡子串数量。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是字符串的长度。

下面是使用 Python 实现的代码：

def max_balanced_partition(s: str) -> List[str]:
    n = len(s)
    f = [1] * (n + 1)
    for i in range(n-1, -1, -1):
        for j in range(i+1, n+1):
            if s[i:j].count('(') == s[i:j].count(')') and f[j] > 0:
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
    i, j, result = 0, 1, []
    while j <= n:
        if f[j] > f[i]:
            i = j
        j += 1
    for k in range(f[i]):
        result.append(s[i:i+f[i]])
        i += f[i]
    return result

总结

最大平衡字符串分区是一种字符串划分的方法，可以使用贪心算法或动态规划来实现。贪心算法的时间复杂度为 $O(n)$，动态规划的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是字符串的长度。