计算与n的XOR值较大的较小数字

当我们需要计算某个数与给定数n的XOR值时，如何找到与n XOR值较大的较小数字，即n XOR x较大且x较小？

首先，我们需要了解XOR运算。XOR运算可以看作是在二进制位上对每一位进行比较，如果这一位上两个数的值不同，则结果为1，否则为0。例如：

  1010 (二进制表示10)
X 1101 (二进制表示13)
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  0111 (二进制表示7，即10 XOR 13的结果)

根据XOR的性质，我们可以得出以下定理：

n XOR x > n XOR y if and only if x > y

也就是说，如果x XOR n的值比y XOR n的值要大，那么x比y更大。

有了这个定理，我们就可以得出以下算法：

1. 将n表示成二进制形式。
2. 从最高位（最左边）开始，找出第一个为1的位置，并将这一位记为k。
3. 构造一个数m，其二进制表示形式为k位为1，其他位为0。
4. 将m与n进行XOR运算，并将结果记为y。
5. 如果y比n小，直接返回y；否则返回y XOR (m/2)。

下面是Python实现代码：

def find_max_xor(n):
    # 将n表示成二进制形式
    bin_num = bin(n)[2:]
    k = len(bin_num) - 1

    # 找出第一个为1的位置
    while k >= 0 and bin_num[k] == '0':
        k -= 1

    # 构造一个数m
    m = int('1' + '0' * k, 2)
    # 将m与n进行XOR运算
    y = m ^ n

    # 如果y比n小，直接返回y
    if y < n:
        return y
    # 否则返回y XOR (m/2)
    else:
        return y ^ (m // 2)

代码解释：

1. 将n表示成二进制形式。使用bin函数将n转换为二进制字符串，例如bin(10)返回的是字符串'0b1010'，因此需要使用[2:]来去掉前面的'0b'。
2. 从最高位开始找到第一个为1的位置，并将这一位记为k。使用len函数获取二进制字符串的长度，并减1得到最高位的位置；然后从最高位向下一位一位扫描字符串，直到找到第一个为1的位置。
3. 构造一个数m，其二进制表示形式为k位为1，其他位为0。使用字符串连接和int函数将'1'和'0'连接成一个k+1位的二进制数，然后使用int函数将它转换为整数。
4. 将m与n进行XOR运算，并将结果记为y。
5. 如果y比n小，直接返回y；否则返回y XOR (m/2)。如果y比n小，说明此时已经找到了比n XOR值较大的较小数字，直接返回y即可；否则需要再进行一步操作。将m/2的二进制表示形式分析一下就能发现，它只在最高位下面一位为1，其他位置为0，因此它与任何数进行XOR运算，都相当于将这个数的最高位取反。因此，当y比n大时，我们需要令x等于y XOR (m/2)，这样最高位就会被取反，从而使x比n小。