K个附加整数后的中位数

背景

中位数是一个序列中排在中间的数，对于一个有奇数个元素的序列，中位数就是排序后中间那个数；对于一个有偶数个元素的序列，中位数就是排序后中间两个数的平均数。

现在，给定一个序列和K个附加整数，你需要在加入这K个数后，求出新序列的中位数。

解法1：暴力法

最简单暴力的方法是将K个附加整数一个一个地加到序列中，然后再排序，最后求得中位数。这种算法的时间复杂度是 O((N+K)log(N+K))，其中N是原序列的长度。时间复杂度较高，不适用于大规模数据集。

解法2：二分查找+双指针

我们可以通过二分法，在新序列中找到中位数所在的位置。如果新序列的长度是奇数，那么中位数的位置就是 len(new_list) // 2（整数除法）；如果新序列的长度是偶数，那么中位数的位置是 len(new_list) // 2 - 1 和 len(new_list) // 2。

然后我们可以通过双指针的方式，同时在原序列和新序列中移动指针，找到新序列中的中位数。具体的实现过程如下：

def findMedian(list1: List[int], k: int, list2: List[int]):
    n = len(list1)
    m = len(list2)

    def get_kth_element(kth: int) -> int:
        index1, index2 = 0, 0
        while True:
            if index1 == n:
                return list2[index2 + kth - 1]
            if index2 == m:
                return list1[index1 + kth - 1]
            if kth == 1:
                return min(list1[index1], list2[index2])
            new_index1 = min(index1 + kth // 2, n) - 1
            new_index2 = min(index2 + kth // 2, m) - 1
            pivot1, pivot2 = list1[new_index1], list2[new_index2]
            if pivot1 <= pivot2:
                kth -= new_index1 - index1 + 1
                index1 = new_index1 + 1
            else:
                kth -= new_index2 - index2 + 1
                index2 = new_index2 + 1

    total = n + m
    if total % 2 == 1:
        return get_kth_element((total + 1) // 2)
    else:
        return (get_kth_element(total // 2) + get_kth_element(total // 2 + 1)) / 2

总结

通过二分查找+双指针的方式，可以在时间复杂度为 O(log(N+K)) 的情况下，找到新序列中的中位数。这种方法时间复杂度较低，适用于大规模数据集。