整数流中的中位数（运行整数）

简介

在一个整数流中，求出其中的中位数是一个常见的问题。中位数是指在一组有序的数字中，位于中间位置的数字。如果数字的个数是偶数，则中位数是中间两个数字的平均值。

例如，对于整数流 [2, 3, 4, 6, 8]，中位数为 4。而对于整数流 [2, 3, 4, 6, 8, 9]，中位数为 (4+6)/2=5。

本文将介绍两种求解整数流中的中位数的方法。一种采用堆，时间复杂度为 O(logn)；另一种是采用二分查找，时间复杂度为 O(n)。两种方法都有相应的优点和适用场景。

采用堆的方法

思路

采用堆的方法，需要维护整数流的两个堆，一个小根堆和一个大根堆。小根堆存放较大的一半数字，大根堆存放较小的一半数字。那么，中位数就由两个堆的堆顶元素共同确定。

为了保持两个堆尽可能平衡，对于加入整数流的元素，需要通过比较大小，插入到合适的堆中，并且需要保证两个堆的元素数量之差不超过 1。

代码

import heapq

class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.small = [] # 小根堆
        self.large = [] # 大根堆

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.small) == len(self.large):
            heapq.heappush(self.large, -heapq.heappushpop(self.small, -num))
        else:
            heapq.heappush(self.small, -heapq.heappushpop(self.large, num))

    def findMedian(self) -> float:
        if len(self.small) == len(self.large):
            return (self.large[0] - self.small[0]) / 2.0
        else:
            return float(self.large[0])

复杂度分析

• 时间复杂度：向堆中插入元素的时间复杂度为 O(logn)，故 addNum() 方法的时间复杂度为 O(logn)。同时，查找中位数需要取出堆顶元素，时间复杂度为 O(1)，故 findMedian() 方法的时间复杂度为 O(1)。
• 空间复杂度：整数流中的元素数量为 n，因此需要维护两个堆来分别存放较小和较大的一半数字，所以空间复杂度为 O(n)。

采用二分查找的方法

思路

采用二分查找的方法，需要实时维护整数流的有序数组 arr。对于每个输入的数字，可以通过二分查找找到它在 arr 中应该插入的位置，然后通过插入操作将其插入数组 arr 中，之后再根据数组元素的数量分别判断中位数的取值。

代码

class MedianFinder:
    def __init__(self):
        self.arr = []

    def addNum(self, num: int) -> None:
        left, right = 0, len(self.arr) - 1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if self.arr[mid] < num:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        self.arr.insert(left, num)

    def findMedian(self) -> float:
        n = len(self.arr)
        if n % 2:
            return self.arr[n//2]
        else:
            return (self.arr[n//2-1] + self.arr[n//2]) / 2.0

复杂度分析

• 时间复杂度：在二分查找过程中，需要 O(logn) 的时间复杂度找到元素的插入位置，故 addNum() 方法的时间复杂度为 O(nlogn)。同时，查找中位数需要了解数组元素的个数，时间复杂度为 O(1)，故 findMedian() 方法的时间复杂度为 O(1)。
• 空间复杂度：整数流中的元素数量为 n，因此需要维护有序数组 arr，所以空间复杂度为 O(n)。