给定二进制数组中面积为K的矩形的计数仅由1组成

问题描述

在一个仅包含0和1的二进制矩阵中，找到一个由1组成的矩形，面积为K。你可以假设矩阵的大小为N x M，其中N和M均不超过100。

解决方案

暴力枚举解法

最朴素的方法是枚举所有可能的K x K矩阵，然后验证它们是否所有元素都是1。

时间复杂度为 $O(N^4)$，空间复杂度为 $O(1)$，这种方法只适用于N和M比较小的情况。

前缀和优化解法

我们可以预先计算出每个矩阵的左上角到右下角的和，再根据计算结果来判断矩阵是否由所有元素都是1组成。

时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度为 $O(N^2)$。

单调栈解法

我们可以使用单调栈来寻找由1组成的矩形。具体做法是，在从左到右遍历每一行的同时，维护一个递增的单调栈，每当遇到0时，就可以计算单调栈中的矩形是否符合要求。如果符合，就更新计数器。

时间复杂度为 $O(NM)$，空间复杂度为 $O(N)$。

代码

以下为基于前缀和优化的解法的Python代码：

def count_rectangles(matrix, K):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    prefix_sum = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i - 1][j] + \
                prefix_sum[i][j - 1] - prefix_sum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]
                
    count = 0
    for i in range(K, n + 1):
        for j in range(K, m + 1):
            rect_sum = prefix_sum[i][j] - prefix_sum[i - K][j] - prefix_sum[i][j - K] + prefix_sum[i - K][j - K]
            if rect_sum == K * K:
                count += 1
        
    return count

以下为基于单调栈的解法的Python代码：

def count_rectangles(matrix, K):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    count = 0
    for i in range(n):
        heights = [0] * m
        for j in range(m):
            if matrix[i][j]:
                heights[j] = heights[j - 1] + 1 if j > 0 else 1
        stack = []
        for j in range(m):
            while stack and heights[stack[-1]] >= heights[j]:
                h = heights[stack.pop()]
                if h >= K:
                    width = j - 1 - stack[-1] if stack else j
                    if h * width == K:
                            count += 1
            stack.append(j)
        while stack:
            h = heights[stack.pop()]
            if h >= K:
                width = m - 1 - stack[-1] if stack else m
                if h * width == K:
                        count += 1
    return count

以上两份代码均为Python 3实现。