对给定数组中的相似矩形对进行计数

本文介绍如何计算给定数组中的相似矩形对的数量。

问题描述

给定一个由 0 和 1 组成的二维数组 A，其中 A[i][j] 表示该位置是否为 1。我们定义一个矩形为一个包含了至少一个 1 的所有格子的形状，并且其边界只由 1 组成。两个矩形相似是指它们可以通过平移后重叠。

请你计算给定数组中有多少对相似矩形。也就是说，对于任意的 (i,j,k,l)，若矩形 A[i][j], A[i][j+1], ..., A[k][l] 和矩形 A[k][l], A[k][l+1], ..., A[i][j] 相似，则计数增加 1。

解决方案

为了简化问题，我们首先考虑如何判断两个矩形是否相似。如果一个矩形可以通过平移后重叠到另一个矩形上，那么它们应该具有以下属性：

1. 它们的面积相等。
2. 它们的周长相等。
3. 它们的宽和高相等或者互换。

我们可以通过计算两个矩形的面积、周长、宽和高，并比较它们的值来判断它们是否相似。具体来说，设矩形 A 左上角坐标为 (a, b)，右下角坐标为 (c, d)，则其面积为 (c - a + 1) * (d - b + 1)，周长为 2 * ((c - a + 1) + (d - b + 1))，宽为 c - a + 1，高为 d - b + 1。

接下来，我们可以通过枚举所有的矩形对来计算相似矩形对的数量。具体来说，对于每对矩形 (A, B)，我们可以先计算它们的面积、周长、宽和高，并比较它们的值是否相等。如果相等，我们就判断它们是否相似，如果相似，就将计数器加一。

同时，为了防止重复计算，我们可以限定 A 的左上角在 B 的左上角的左侧和上方，并且 A 的右下角在 B 的右下角的右侧和下方。这样，我们就可以枚举所有符合条件的矩形对。

代码实现

下面给出 Python 的实现代码：

def count_similar_rectangles(A):
    n, m = len(A), len(A[0])
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for k in range(i + 1, n):
                for l in range(j + 1, m):
                    if A[i][j] == A[k][l]:
                        continue # 如果两个矩形完全相同，忽略它们
                    if A[i][l] != A[k][j]:
                        continue # 如果两个矩形不具有相同的对角线，忽略它们
                    area1 = (k - i + 1) * (l - j + 1)
                    area2 = (i - k + 1) * (j - l + 1)
                    if area1 != area2:
                        continue # 如果两个矩形面积不相等，忽略它们
                    length1 = 2 * ((k - i + 1) + (l - j + 1))
                    length2 = 2 * ((i - k + 1) + (j - l + 1))
                    if length1 != length2:
                        continue # 如果两个矩形周长不相等，忽略它们
                    width1, height1, width2, height2 = k - i + 1, l - j + 1, i - k + 1, j - l + 1
                    if width1 != width2 or height1 != height2:
                        width1, height1 = height1, width1 # 交换宽和高
                        if width1 != width2 or height1 != height2:
                            continue # 如果两个矩形的宽和高不相等，忽略它们
                    count += 1
    return count

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n^4)$，其中 $n$ 是数组的长度或宽度。具体来说，我们需要枚举所有的矩形对，因此需要四重循环。对于每对矩形，我们需要比较它们的面积、周长、宽和高，因此时间复杂度为 $O(1)$。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为 $O(1)$，因为我们只需要常数级别的额外空间来存储计数器和临时变量。